Question

13．如图所示，有一矩形区域abcd，水平边长为$s=\sqrt{3}m$，竖直边长为h=1m，当该区域只存在大小为E=10N/C、方向竖直向下的匀强电场时，一比荷为q/m=0.1C/kg的正粒子由a点沿ab方向以速率v₀进入该区域，粒子运动轨迹恰好通过该区域的几何中心．当该区域只存在匀强磁场时，另一个比荷也为q/m=0.1C/kg的负粒子由c点沿cd方向以同样的速率v₀进入该区域，粒子运动轨迹也恰好通过该区域的几何中心．不计粒子的重力，则（　　）

• A． 粒子离开矩形区域时的速率v₀=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$m/s
• B． 磁感应强度大小为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$T，方向垂直纸面向外
• C． 正、负粒子各自通过矩形区域所用时间之比为$\frac{{\sqrt{6}}}{π}$
• D． 正、负粒子各自离开矩形区域时的动能相等

Answer 1

分析 已知比荷相等的异性粒子在电场和磁场中分别做类平抛运动和匀速圆周运动，由相应的位移关系和已知条件就能求出初速度和磁感应强度．再根据粒子在两种场中的受力特征就能判断离开区域的速度大小和动能大小．

解答 解：A、当区域内只有竖直向下的电场时，由正粒子恰好通过该区域的几何中心，则有：水平方向 $\frac{s}{2}={v}_{0}t$  竖直方向有 $\frac{h}{2}=\frac{1}{2}×\frac{Eq}{m}×{t}^{2}$，联立解${v}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}$m/s，显然离开电场时从cd边射出，此时速率为v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{2Eq}{m}h}=\frac{\sqrt{11}}{2}$m/s，而负粒子从磁场区域射出时速度为${v}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}$m/s，只能说负粒子离开区域的速度为${v}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}$m/s，所以选项A错误．
B、当负粒子沿cd方向射入时，由几何关系和题意知道负粒子做匀速圆周运动的半径r=h=1m，由洛仑兹力提供向心力得B=$\frac{m{v}_{0}}{qr}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{0.1×1}T=5\sqrt{3}T$，方向垂直纸面向里，所以选项B错误．
C、当正粒子从cd边射出时：$h=\frac{1}{2}×\frac{Eq}{m}×t{′}^{2}$  代入得到$t′=\sqrt{2}$s，由上述分析，负粒子在磁场中偏转90°后从ab边射出，时间$t″=\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}×\frac{2π×1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{π}{\sqrt{3}}$s，所以两者的时间之比$\frac{t′}{t″}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{π}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{6}}{π}$，所以选项C正确．
D、由于正粒子在电场中是做匀加速曲线运动，所以速度将增加，而负粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，速度大小不变，所以两种粒子离开磁场的区域运动不相等，所以选项D错误．
故选：C

点评 本题是把比荷相同的两种异性粒子分别在电场和磁场中的运动进行对比，由位移关系解出其他量的关系，是一道夯实基础的好题．但要注意的是负粒子在做匀速圆周运动时还考察左手定则、牛顿第三定律等内容，同时涉及根据两个点确定圆周运动的圆心等内容．