Question

18．如图所示，电容器固定在一个绝缘座上，绝缘座放在光滑水平面上，平行板电容器板间距离为d，右极板有一小孔，通过孔有绝缘杆，左端固定在左极板上，电容器极板连同底座、绝缘杆总质量为M．给电容器充电后，有一质量为m的带正电环恰套在杆上以某一速度v₀对准小孔向左运动，设带电球不影响电容器板间电场的分布．带电环进入电容器后距左极板的最小距离为$\frac{d}{2}$，试求：
（1）带电环与左极板相距最近时的速度v；
（2）此过程中电容器移动的距离x；
（3）此过程中电势能的变化量Ep．

Answer 1

分析 （1）带电环与极板间相距最近时两者速度相等，选取带电环与电容器构成的系统作为研究对象，根据动量守恒定律，即可求出带电环与左极扳相距最近时的速度大小；
（2）结合运动学公式求解电容器移动的距离；
（3）在此过程，系统中，带电小环动能减少，电势能增加，同时电容器等的动能增加，系统中减少的动能全部转化为电势能．

解答 解：（1）带电环进入电容器后在电场力的作用下做初速度为v₀的匀减速直线运动，而电容器则在电场力的作用下做匀加速直线运动，当它们的速度相等时，带电环与电容器的左极板相距最近，由系统动量守恒定律可得：mv₀=（M+m）v
解得：v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$
（2）该过程中电容器向左做匀加速直线运动根据运动学基本公式得：
$\frac{v}{2}t=s$，
环向左做匀减速直线运动，由公式得：$\frac{v+{v}_{0}}{2}t=s′$
根据位移关系有$s′-s=\frac{d}{2}$，
解得：s=$\frac{md}{2（M+m）}$
（3）在此过程，系统中，带电小环动能减少，电势能增加，同时电容器等的动能增加，系统中减少的动能全部转化为电势能．
所以：${E}_{P}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}$
联立得：E_P=$\frac{Mm{v}_{0}^{2}}{2（m+M）}$
答：（1）带电环与左极板相距最近时的速度v为$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$；
（2）此过程中电容器移动的距离s为$\frac{md}{2（M+m）}$．
（3）此过程中电势能的变化量为$\frac{Mm{v}_{0}^{2}}{2（m+M）}$．

点评 考查动量守恒定律与动能定理的应用，注意动量守恒定律的守恒条件与方向性，并掌握动能定理的功的正负