Question

10．如图所示，在长度足够长、宽度d=5cm的区域MNPQ内，有垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度B=0.33T．水平边界MN上方存在范围足够大的竖直向上的匀强电场，电场强度E=200N/C．现有大量质量m=6.6×10^-27kg、电荷量q=3.2×10^-19C的带负电的粒子，同时从边界PQ上的O点沿纸面向各个方向射入磁场，射入时的速度大小均为v=1.6×10⁶m/s，不计粒子的重力和粒子间的相互作用．求：
（1）求带电粒子在磁场中运动的半径r
（2）求与x轴负方向成60°角射入的粒子在电场中运动的时间t及从PQ边界出磁场时的位置坐标
（3）当从MN边界上最左边射出的粒子离开磁场时，求仍在磁场中的粒子（未进入过电场）的初速度方向与x轴正方向的夹角范围，并写出此时这些粒子所在位置构成的图形的曲线方程．

Answer 1

分析 （1）洛伦兹力提供向心力，代人公式可以求出半径；
（2）画出粒子的运动轨迹，由几何关系知，在磁场中运动的圆心角为30°，粒子平行于场强方向进入电场，求出粒子在电场中运动的加速度 进而求出粒子在电场中运动的时间．
（3）由几何关系可知，从MN边界上最左边射出的粒子在磁场中运动的圆心角为60°，进而确定仍在磁场中的粒子的初速度方向与x轴正方向的夹角范围．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
代入数据解得：r=0.1m；
（2）粒子的运动轨迹如图甲所示，由几何关系知，在磁场中运动的圆心角为30°，
粒子平行于场强方向进入电场，粒子在电场中运动的加速度：a=$\frac{qE}{m}$，
粒子运动时间：t=$\frac{2v}{a}$，
代入数据解得：t=3.3×10^-4s；
从PQ边界出磁场时的位置坐标：x=-2（r-$\frac{\sqrt{3}}{2}$r）=-$\frac{2-\sqrt{3}}{10}$m；
（3）如图乙所示，由几何关系可知，从MN边界上最左边射出的粒子在磁场中运动的圆心角为60°，
圆心角小于60°的粒子已经从磁场中射出，此时刻仍在磁场中的粒子运动轨迹的圆心角均为60°．
则仍在磁场中的粒子的初速度方向与x轴正方向的夹角范围为30°～60°，
所有粒子此时分布在以O点为圆心，半径为0.1m的圆周上，曲线方程为：
x²+y²=R²，（R=0.1m，$\frac{\sqrt{3}}{20}$m≤x≤0.1m）；
答：（1）带电粒子在磁场中运动的半径r为0.1m；
（2）与x轴负方向成60°角射入的粒子在电场中运动的时间t为3.3×10^-4s，从PQ边界出磁场时的位置坐标为-$\frac{2-\sqrt{3}}{10}$m．
（3）仍在磁场中的粒子（未进入过电场）的初速度方向与x轴正方向的夹角范围是：30°～60°，此时这些粒子所在位置构成的图形的曲线方程为x²+y²=R²，（R=0.1m，$\frac{\sqrt{3}}{20}$m≤x≤0.1m）．

点评 本题的难点是分析带电粒子的运动情况，可通过画轨迹图象分析，由于仍在磁场中的粒子的轨迹的长度与从MN边界上最左边射出的粒子长度相同，仍在磁场中的粒子的初速度方向在临界条件以内．