Question

3．如图所示，在足够长的水平边界MN下方充满匀强电场（图中未画出），同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于纸面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，PQ为上下磁场的水平分界线，MN、PQ间距离为d．一个质量为m、电荷量为-q的小球，由MN上方的O点静止释放，小球向下穿过MN进入电磁场区域后做圆周运动（已知重力加速度为g）．求：
（1）电场强度的大小和方向；
（2）带电小球第一次穿出MN、PQ边界所围的区域，电场力所做的功；
（3）若从某高度释放小球后，小球能回到O点，小球经过多长时间返回O点．

Answer 1

分析 （1）带电小球进入场区后，恰能做匀速圆周运动，则合力为洛伦兹力，重力与电场力平衡，据此求解E；
（2）分释放点O距MN的高度h较小和较大两种情况分析带电小球进入磁场I区域后由下边界PQ第一次穿出磁场I区域，电场力做的功；
（3）带电小球在进入磁场前做自由落体运动，带电小球在磁场中做匀速圆周运动，画出粒子的运动轨迹，根据运动学基本公式结合几何关系求解．

解答 解：（1）带电小球进入场区后，恰能做匀速圆周运动，则合力为洛伦兹力，重力与电场力平衡，小球带负电，电场方向竖直向下．
由qE=mg ①
得E=$\frac{mg}{q}$        ②
（2）当释放点O距MN的高度h较小时，带电小球进入磁场I区域的速度较小，由磁场上边界MN第一次穿出磁场I区域，此过程中电场力做功W=0③
当释放点O距MN的高度h较大时，带电小球进入磁场I区域后由下边界PQ第一次穿出磁场I区域，此过程中电场力做功
W=-qEd=-mgd   ④
（3）设距MN的高度为h₁时释放带电小球，带电小球能回到释放点O，如图所示．
带电小球在进入磁场前做自由落体运动，设下落时间为t₁有：
${h}_{1}=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$ ⑤
v²=2gh₁        ⑥
带电小球在磁场中做匀速圆周运动，设半径为R，周期为T有：
$cosθ=\frac{R}{R+R}$ ⑦
$R=\frac{d}{sinθ}$ ⑧
$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{R}$     ⑨
$T=\frac{2πm}{Bq}$  ⑩
由于带电小球在I、II两个区域运动过程中q、v、B、m的大小不变，故三段圆周运动的半径相同，如图所示，由几何关系知：
${t}_{2}=\frac{2θ+2π-2（90°-θ）}{2π}T$
带电小球第一次回到释放点O的时间t为
t=2t₁+t₂
解得：$t=\frac{1}{3}（\frac{4\sqrt{3}Bqd}{mg}+\frac{7πm}{Bq}）$
带电小球回到释放点O的时间t_总为t_总=nt，
则${t}_{总}=\frac{n}{3}（\frac{4\sqrt{3}Bqd}{mg}+\frac{7πm}{Bq}）$（n=1、2、3…）
答：（1）电场强度的大小为$\frac{mg}{q}$，方向竖直向下；
（2）带电小球第一次穿出MN、PQ边界所围的区域，电场力所做的功为0或-mgd；
（3）若从某高度释放小球后，小球能回到O点，小球经过$\frac{n}{3}（\frac{4\sqrt{3}Bqd}{mg}+\frac{7πm}{Bq}）$（n=1、2、3…）时间返回O点．

点评 带电粒子在电磁场中运动，关键在于分析粒子的运动情况，明确粒子可能运动轨迹，根据几何关系确定圆心和半径，同时注意临界条件的应用才能顺利求解，难度较大．