Question

7．如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R=90m的大圆弧和r=40m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O'、O距离L=100m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短．（发动机功率足够大，重力加速度g=10m/s²，π=3.14）．
求：（1）在两个弯道上的最大速度分别是多少？
（2）应从什么位置开始加速，加速度是多大？
（3）完成一圈的最短时间是多少？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，结合最大静摩擦力提供向心力求出在两个弯道上的最大速度．
（2）赛车在绕过小弯道后加速，根据几何关系求出直道的距离，结合速度位移公式求出加速度．
（3）根据几何关系求出小圆弧和大圆弧的长度，结合运动学公式求出在圆弧上的运动时间以及在直线上的运动时间，从而得出完成一圈的最短时间．

解答 解：（1）在弯道上做匀速圆周运动时，根据牛顿定律有：kmg=$m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{r}$，
在小弯道上的最大速度为：${v}_{m}=\sqrt{kgr}=\sqrt{2.25×10×40}$m/s=30m/s，
在大圆弧弯道上的速率为：${v}_{mR}=\sqrt{kgR}$=$\sqrt{2.25×10×90}m/s=45m/s$．
（2）当弯道半径一定 时，在弯道上的最大速度是一定的，且在大弯道上的最大速度大于小弯道上的最大速度，故要想时间最短，故可在绕过小圆弧弯道后加速，直道的长度为：$x=\sqrt{{L}^{2}-（R-r）^{2}}=50\sqrt{3}m$，
故在在直道上的加速度大小为为：$a=\frac{{{v}_{mR}}^{2}-{{v}_{m}}^{2}}{2x}=\frac{4{5}^{2}-3{0}^{2}}{2×50\sqrt{3}}m/{s}^{2}$≈6.50m/s²，
（3）由几何关系可知，小圆弧轨道的长度为$\frac{2πr}{3}$，
通过小圆弧弯道的时间为：t₁=$\frac{\frac{2πr}{3}}{{v}_{m}}$=$\frac{2×3.14×40}{3×30}s≈2.80s$，
通过大圆弧时间为：${t}_{2}=\frac{\frac{4πR}{3}}{{v}_{mR}}$，代入数据解得t₂=8.37s，
直线运动时间为t₃则有：X=$\frac{{v}_{m}+{v}_{mR}}{2}{t}_{3}$，
代入数据解得：t₃=2.31s，
总时间为：t=t₁+t₂+2t₃=2.80+8.37+2×2.31s=15.79s．
答：（1）在两个弯道上的最大速度分别是30m/s、45m/s；
（2）绕过小弯道后加速，加速度是6.50m/s²；
（3）完成一圈的最短时间是15.79s．

点评 解答此题的关键是由题目获得条件：①在弯道上由最大静摩擦力提供向心力②由数学知识求得圆弧的长度，另外还要熟练掌握匀速圆周运动的知识．