Question

5．平行光滑的金属导轨置于水平面上，竖直向下的匀强磁场穿过导轨平面．导轨一端接一平行且光滑的弧形导轨，处于磁场外．导线a、b可在导轨上自由滑动，开始时，b静止在水平导轨上，a从弧形导轨上h高处由静止自由滑下，如图所示．已知磁感应强度为B，导线a的质量m_a=2m_b．求：
（1）当a进入磁场瞬间，两导线加速度大小之比；
（2）如a与b始终不相碰，a、b最终的速度多大？
（3）整个过程中电流做功产生的热量是多少？

Answer 1

分析 （1）根据安培力公式F=BIL和牛顿第二定律，即可求解两棒的加速度之比；
（2）a进入磁场后切割磁感线产生感应电流，b在安培力作用下做加速运动，a做减速运动，回路中总的感应电动势减小，感应电流减小，当两者速度相等时，感应电流为零，两棒不再受安培力而做匀速运动．先根据机械能守恒定律求得a棒刚进入磁场瞬间的速度，再结合动量守恒定律，即可求解各自的最终速度；
（3）由通量守恒定律，即可求解整个电路产生的热量．

解答 解：（1）由F=BIL 知：a，b棒受到的安培力大小均相等，由牛顿运动定律F=ma得：两导线加速度大小之比  $\frac{{a}_{a}}{{a}_{b}}$=$\frac{{m}_{b}}{{m}_{a}}$=$\frac{1}{2}$．
（2）对a棒下滑过程，由机械能守恒定律得：m_agh=$\frac{1}{2}$m_av_a²
对a，b棒组成的系统，合外力为零，系统的动量守恒，取向右为正方向，a，b棒最终达到相同速度v做匀速运动，由动量守恒定律有：
  m_av_a=（m_a+m_b）v
所以解得  v=$\frac{2}{3}\sqrt{2gh}$；
（3）整个过程中电流做功产生的热量是：Q=m_agh-$\frac{1}{2}$（m_a+m_b）v²；
解得：Q=$\frac{1}{3}$m_agh．
答：（1）当a进入磁场瞬间，两导线加速度大小之比a_a：a_b是1：2；
（2）a、b最终的速度是$\frac{2}{3}\sqrt{2gh}$；
（3）整个过程中电流做功产生的热量是$\frac{1}{3}$m_agh．

点评 解决本题的关键要正确分析两棒的受力情况，判断其运动情况，a进入磁场后运动情形与一个小球压缩另一个带有弹簧的小球类似，利用系统的动量守恒和能量守恒研究．