Question

19．如图甲所示，间距为L、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上．在MNPQ矩形区域内有方向垂直于斜面向上、磁感应强度大小为B；在CDEF矩形区域内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度大小为B₁，B₁随时间t变化的规律如图乙所示，其中B₁的最大值为2B．现将一根质量为M、电阻为R、长为L的金属细棒cd跨放在MNPQ区域间的两导轨上，并把它按住使其静止．在t=0时刻，让另一根长为L的金属细棒ab从CD上方的导轨上由静止开始下滑，同时释放cd棒．已知CF长度为2L，两根细棒均与导轨良好接触，在ab从图中位置运动到EF处的过程中，cd棒始终静止不动，重力加速度为g；t_x是未知量．
（1）求通过ab棒的电流，并确定CDEF矩形区域内磁场的方向；
（2）当ab棒进入CDEF区域后，求cd棒消耗的电功率；
（3）能求出ab棒刚下滑时离CD的距离吗？若不能，则说明理由；若能，请列方程求解，并说明每一个方程的解题依据．
（4）根据以上信息，还可以求出哪些物理量？请说明理由（至少写出两个物理量及其求解过程）．

Answer 1

分析 导体棒在重力作用下切割磁感线，由法拉第电磁感应定律求出产生感应电动势大小，由右手定则来判定闭合电路出现感应电流方向，由左手定则来根据cd导体棒受到安培力来确定所处的磁场方向．当ab棒进入CDEF区域后，磁场不变，则电路中电流恒定，由电流与电阻可求出cd棒消耗的电功率．ab进入CDEF区域前只受重力和支持力作用做匀加速运动，进入CDEF区域后将做匀速运动，t_x之前由法拉第电磁感定律求出感生电动势，之后求出动生电动势．两者相等下，可求出ab棒刚下滑时离CD的距离．

解答 解：（1）如图示，cd棒受到重力、支持力和安培力的作用而处于平衡状态由力的平衡条件有：
BIL=Mgsinθ
得：I=$\frac{Mgsinθ}{BL}$，ab中电流等于cd中电流，
上述结果说明回路中电流始终保持不变，而只有回路中电动势保持不变，才能保证电流不变，因此可以知道：在t_x时刻ab刚好到达CDEF区域的边界CD．在0～t_x内，由楞次定律可知，回路中电流沿abdca方向，再由左手定则可知，CDEF矩形区域内磁场的方向垂直于斜面向下；  
（2）ab棒进入CDEF区域后，磁场不再发生变化，在ab、cd和导轨构成的回路中，ab相当于电源，cd相当于外电阻有：
P=I²R=（$\frac{Mgsinθ}{BL}$）²R
（3）ab进入CDEF区域前只受重力和支持力作用做匀加速运动，进入CDEF区域后将做匀速运动．设ab刚好到达CDEF区域的边界CD处的速度大小为v，刚下滑时离CD的距离为x，在0～t_x内：由法拉第电磁感定律有：E₁=$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{2B{L}^{2}}{{t}_{x}}$
在t_x后：有：E₂=BLv 
E₁=E₂ 
解得：v=$\frac{2L}{{t}_{x}}$ 
由x=$\frac{v}{2}{t}_{x}$
解得：x=L
（4）根据以上信息，可以求出ab刚好到达CDEF区域时的速度大小，ab到达CDEF区域的边界所需要的时间，ab质量及电阻等．
答：（1）通过ab棒的电流I=$\frac{Mgsinθ}{BL}$，CDEF矩形区域内磁场的方向垂直于斜面向下；
（2）当ab棒进入CDEF区域后，cd棒消耗的电功率为（$\frac{Mgsinθ}{BL}$）²R；
（3）能求出ab棒刚下滑时离CD的距离为L．
（4）根据以上信息，可以求出ab刚好到达CDEF区域时的速度大小，ab到达CDEF区域的边界所需要的时间，ab质量及电阻等．

点评 导体棒在磁场中切割磁感线产生电动势，电路中出现电流，从而有安培力．由于安培力是与速度有关系的力，因此会导致加速度在改变．所以当安培力不变时，则一定处于平衡状态．