Question

11．如图所示，宽度为L，水平放置的足够长的金属框架中接有电动势为ε，内阻为r的电源和阻值为R的电阻，框架上放置一质量为m、电阻不计的金属杆，它可以在框架上无摩擦地滑动．匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于框架平面向上．求：
（1）当单刀双掷电键掷向a后金属杆开始滑动，运动过程中加速度a与速度v满足的函数关系式；
（2）当金属杆以最大速度运动时将单刀双掷电键掷向b，求此后金属棒向右移动的最远距离s，以及金属棒运动到λs（0＜λ＜1）时金属棒瞬时速度的大小．

Answer 1

分析 （1）当单刀双掷电键掷向a后金属杆开始滑动，杆的速度为v时，回路中总电动势为 E=ε-BLv，感应电流I=$\frac{E}{R+r}$，杆所受的安培力 F=BIL，根据牛顿第二定律得：F=ma，即可求得加速度a与速度v的关系式．
（2）当金属杆以最大速度运动时将单刀双掷电键掷向b，杆在安培力作用下做减速运动，根据牛顿第二定律、加速度的定义式列式，由积分法求最远距离s．并求金属棒运动到λs（0＜λ＜1）时金属棒瞬时速度的大小．

解答 解：（1）当单刀双掷电键掷向a后金属杆开始滑动，杆的速度为v时，回路中总电动势为 E=ε-BLv
  感应电流为 I=$\frac{E}{R+r}$ ①
   杆所受的安培力 F=BIL ②
根据牛顿第二定律得：F=ma ③
联立解得 a=$\frac{B（?-BLv）L}{m（R+r）}$ ④
（2）设金属杆的最大速度为v_m．此时a=0，由上式④得 v_m=$\frac{?}{BL}$当金属杆以最大速度运动时将单刀双掷电键掷向b，杆在安培力作用下做减速运动，根据牛顿第二定律得
   $\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma=m$\frac{△v}{△t}$ ⑤
可得 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$△t=m△v ⑥
两边求和得：$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$△t=$\sum_{\;}^{\;}$m△v ⑦
而$\sum_{\;}^{\;}$v△t=$\sum_{\;}^{\;}$△s=s，$\sum_{\;}^{\;}$m△v=mv_m=m•$\frac{?}{BL}$ ⑧
解得 s=$\frac{?mR}{{B}^{3}{L}^{3}}$ ⑨
设金属棒运动到λs（0＜λ＜1）时金属棒瞬时速度的大小为v．
由⑦得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}$λs=m（v_m-v） （10）
由⑨（10）及v_m=$\frac{?}{BL}$ 解得：v=$\frac{（1-λ）?}{BL}$
答：
（1）当单刀双掷电键掷向a后金属杆开始滑动，运动过程中加速度a与速度v满足的函数关系式是a=$\frac{B（?-BLv）L}{m（R+r）}$；
（2）当金属杆以最大速度运动时将单刀双掷电键掷向b，此后金属棒向右移动的最远距离s是$\frac{?mR}{{B}^{3}{L}^{3}}$，金属棒运动到λs（0＜λ＜1）时金属棒瞬时速度的大小是$\frac{（1-λ）?}{BL}$．

点评 本题关键要学会运用积分法求非匀变速运动的速度和位移，其切入口是牛顿第二定律和加速度的定义式．