Question

用单位长度的质量为0.5kg/m的直木板做成直轨道，轨道的左端A搁在一个水平台上，并与一个固定光滑曲面的底端平滑相接，轨道在B点处与一竖直支架固定在一起，B点到A端的距离为0.8m，支架的高也为0.8m，轨道恰好水平．支架的下端与垂直于纸面的固定轴O连接，因此轨道可绕轴O沿顺时针方向翻动．现将一个可看做质点的滑块从曲面上P点由静止释放，已知滑块质量为0.4kg，P到轨道的竖直距离为0.2m，滑块与轨道之间的动摩擦因数为0.125，重力加速度g取10m/s²．
（1）求滑块运动到A点时的速度大小；
（2）若轨道长为1.024m，请通过计算确定滑块是否能水平飞离轨道；
（3）用同样的直木板，做成不同长度的直轨道，保持B点到轨道左端A的距离为0.8m，仍将滑块从P点由静止释放，为确保滑块在轨道上滑行时支架不翻倒，求轨道长度的范围．

Answer 1

分析：（1）滑块从P到A的过程中只有重力做功，机械能守恒；
（2）首先根据动能定理计算出滑块的最大位移，判定滑块能否离开轨道；然后根据力矩平衡，判定轨道是否能够发生翻转．若滑块的最大位移大于轨道的长度，且轨道不会发生翻转，则滑块才能够水平飞离轨道；
（3）结合（2）的分析，找出轨道恰好翻转的条件，计算出最大的长度即可．

解答：解：（1）滑块从P到A，由mgh=

1

2

mv_A²-0，可解得v_A=2m/s
（2）假设轨道固定且足够长，滑块从P运动到轨道上，设在水平轨道上能滑行的最大距离为s，
由W_f=W_G，μmgs=mgh，可解得s=

h

μ

=

0.2

0.125

m=1.6m＞1.024m
所以滑块能运动到轨道末端
滑块在轨道末端时，轨道的重力矩为MgL_M=0.5×1.024×10×（0.8-

1.024

2

）N?m=1.47 N?m
滑块的压力和摩擦力的力矩为：
mgL_m+μmgL_f=0.4×10×（1.024-0.8）N?m+0.125×0.4×10×0.8 N?m=1.296 N?m
因为轨道的重力矩大于滑块的压力和摩擦力的力矩，所以轨道不会翻转．所以滑块能水平飞离轨道．
（3）设轨道长度为xm，轨道质量为M=0.5xkg
恰好翻倒时，Mg（0.8-

1

2

x）=mg（x-0.8）+μmg×0.8
可求出x=

2

5

7

m （或1.058m）
所以轨道长度的范围为（0.8，

2

5

7

）m
答：（1）滑块运动到A点时的速度大小为2m/s；
（2）若轨道长为1.024m，通过计算确定滑块能水平飞离轨道；
（3）用同样的直木板，轨道长度的范围为（0.8，

2

5

7

）m．

点评：该题的第二问中，让我们判定滑块是否能水平飞离轨道，不能只计算滑块的最大位移，一定要根据力矩平衡进行分析，才能得出正确的结论．是一道容易出现错误的题目．