Question

如图所示，一个水平放置的圆桶绕水平轴O₁O₂匀速转动，桶的半径R=2m，桶壁很薄，壁上有一小圆孔P，当圆孔运动到桶的正上方时，在孔的正上方h=3.2m处有一个小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径．试求：要使小球在整个下落过程中都不与桶壁碰撞，圆桶转动的角速度的所有可能值．

Answer 1

分析：小球若能从圆孔中进去还正好从圆孔中出来，就不会跟圆筒相撞，否则就会相撞，设小球下落h所用时间t₁，经过圆桶所用时间为t₂，求出这两段时间，再求出圆筒的角速度的可能值．

解答：解：设小球下落h所用时间t₁，经过圆桶所用时间为t₂，则h=

1

2

gt²
解得t₁=0.8 s
h+2R=

1

2

g（t₁+t₂）²
解得t₂=0.4 s
设圆桶的运动周期为T，故有：
nT=t₁（n=1，2，3，…）
（m-

1

2

）T=t₂    （m=1，2，3，…）
解得：T=

0.8

n

 （n=1，2，3，…）
且T=

0.8

2m-1

   （m=1，2，3，…）
故T=

0.8

2m-1

（m=1，2，3，…）
角速度为：ω=

2π

T

=2.5π（2m-1）（m=1，2，3，…）
答：要使小球在整个下落过程中都不与桶壁碰撞，圆桶转动的角速度的可能值为：ω=

2π

T

=2.5π（2m-1）（m=1，2，3，…）．

点评：本题是自由落体运动和圆周运动相结合的题目，比较有新意，要抓住小球运动时间与圆筒的周期之间的关系求解，难度适中．