Question

9．已知地球半径为R，地球自转周期为T，同步卫星离地面的高度为H，万有引力恒量为G，则以下说法正确的是（　　）

• A． 同步卫星绕地球运动的线速度为$\frac{2π（R+H）}{T}$
• B． 同步卫星绕地球运动的线速度为$\frac{2πR}{T}$
• C． 地球表面的重力加速度为$\frac{{4{π^2}R}}{T^2}$
• D． 地球的质量为$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 同步卫星的运行周期等于地球自转周期，根据线速度与周期和轨道半径的关系可知，计算同步卫星的线速度．
地球的近地卫星绕地球做匀速圆周运动，重力提供向心力$mg=m\frac{4{π}^{2}}{{T′}^{2}}R$，得$g=\frac{4{π}^{2}R}{T{′}^{2}}$，其中T′为近地卫星的周期．
同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+H）$，化简可得地球的质量．

解答 解：AB、同步卫星的运行周期等于地球自转周期，根据线速度与周期和轨道半径的关系可知，同步卫星的线速度为$v=\frac{2π（R+H）}{T}$，故A正确，B错误．
C、地球的近地卫星绕地球做匀速圆周运动，重力提供向心力$mg=m\frac{4{π}^{2}}{{T′}^{2}}R$，得：$g=\frac{4{π}^{2}R}{T{′}^{2}}$，其中T′为近地卫星的周期，根据$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$可知，轨道半径越小，周期越小，故近地卫星的周期T′远远小于同步卫星的周期，所以地球表面的重力加速度远远大于$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，故C错误．
D、同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+H）$，得地球的质量为$M=\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$，故D正确．
故选：AD．

点评 本题要掌握万有引力提供向心力这个关系，要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．