Question

10．某高中物理课程基地拟采购一批实验器材，增强学生对电偏转和磁偏转研究的动手能力，其核心结构原理可简化为题图所示．AB、CD间的区域有竖直向上的匀强电场，在CD的右侧有一与CD相切于M点的圆形有界匀强磁场，磁场方向垂直于纸面．一带正电粒子自O点以水平初速度v₀正对P点进入该电场后，从M点飞离CD边界，再经磁场偏转后又从N点垂直于CD边界回到电场区域，并恰能返回O点．已知OP间距离为d，粒子质量为m，电荷量为q，电场强度大小$E=\frac{{\sqrt{3}mv_0^2}}{qd}$，粒子重力不计．试求：
（1）粒子从M点飞离CD边界时的速度大小；
（2）P、N两点间的距离；
（3）磁感应强度的大小和圆形有界匀强磁场的半径．

Answer 1

分析 （1）粒子从O到M点过程是类似平抛运动，根据类似平抛运动的分运动公式列式求解即可；
（2）从N到O过程是类似平抛运动，根据类似平抛运动的分运动公式列式求解即可；
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，结合几何关系确定轨道半径，然后根据牛顿第二定律列式求解．

解答 解：（1）据题意，作出带电粒子的运动轨迹，如图所示：

粒子从O到M点时间：${t_1}=\frac{d}{v_0}$
粒子在电场中加速度：$a=\frac{Eq}{m}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{d}$
粒子在M点时竖直方向的速度：${v_y}=a{t_1}=\sqrt{3}{v_0}$
粒子在M点时的速度：$v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=2{v_0}$
速度偏转角正切：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\sqrt{3}$，故θ=60°；
（2）粒子从N到O点时间：${t_2}=\frac{d}{{2{v_0}}}$
粒子从N到O点过程的竖直方向位移：$y=\frac{1}{2}at_2^2$
故P、N两点间的距离为：$PN=y=\frac{{\sqrt{3}}}{8}d$
（3）由几何关系得：$Rcos60°+R=PN+PM=\frac{{5\sqrt{3}}}{8}d$
可得半径：$R=\frac{{5\sqrt{3}}}{12}d$
由$qvB=m\frac{v^2}{R}$，即：$R=\frac{mv}{qB}$
解得：$B=\frac{{8\sqrt{3}mv{\;}_0}}{5qd}$
由几何关系确定区域半径为：R'=2Rcos30°
即  $R'=\frac{5}{4}d$
答：（1）粒子从M点飞离CD边界时的速度大小为2v₀；
（2）P、N两点间的距离为$\frac{\sqrt{3}}{8}d$；
（3）磁感应强度的大小为$\frac{8\sqrt{3}m{v}_{0}}{5qd}$，圆形有界匀强磁场的半径为$\frac{5}{4}d$．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动情况，画出运动轨迹，然后结合类似平抛运动的分运动公式、牛第二定律、几何关系列式求解，不难．