Question

如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一质量为m小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道，若小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力都恰好为零，试求：
（1）进入甲轨道最低点C对轨道的压力；
（2）CD段的长度．

Answer 1

分析：（1）小球在圆轨道的最高点对轨道的压力都恰好为零，小球在最高点做圆周运动的向心力由重力提供，由牛顿第二定律可以求出小球在最高点的速度，由动能定理可以求出在最低点时的速度，由牛顿第二定律可以求出小球在最低点受到的支持力，由牛顿第三定律可以求出小球对轨道的压力．
（1）求出小球在C、D两点的速度，然后由动能定理可以求出CD段的长度．

解答：解：（1）在甲轨道最高点，
由牛顿第二定律得：mg=m

v 2 1

R

，
从C点到最高点过程中，
由动能定理得：-2mgR=

1

2

mv₁²-

1

2

mv_C²，
在C点由牛顿第二定律得：F_C-mg=m

v 2 C

R

，
解得：v_C=

5gR

，F_C=6mg，
由牛顿第三定律得，小球在C点对轨道的压力F_C′=F_C=6mg；
（2）小球在乙最高点，
由牛顿第二定律得：mg=m

v 2 2

r

，
从D到最高点过程中，由动能定理得：
-2mgr=

1

2

mv₂²-

1

2

mv_D²，解得：v_D=

5gr

；
从C到D过程中，由动能定理得：
-μmgs_CD=

1

2

mv_D²-

1

2

mv_C²，
解得：s_CD=

5(R-r)

2μ

；
答：（1）进入甲轨道最低点C对轨道的压力为6mg；
（2）CD段的长度为

5(R-r)

2μ

．

点评：小球在最高点对轨道压力恰好为零，则小球做圆周运动的向心力由重力提供，由动能定理、牛顿第二定律即可正确解题．