Question

如图所示，半径分别为a、b的两同心虚线圆所围空间分别存在电场和磁场，中心O处固定一个半径很小（可忽略）的金属球，在小圆空间内存在沿半径向内的辐向电场，小圆周与金属球间电势差为U，两圆之间的空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，设有一个带负电的粒子从金属球表面沿+x轴方向以很小的初速度逸出，粒子质量为m，电量为q，（不计粒子重力，忽略粒子初速度）求：
（1）粒子到达小圆周上时的速度为多大？
（2）粒子以（1）中的速度进入两圆间的磁场中，当磁感应强度超过某一临界值时，粒子将不能到达大圆周，求此最小值B．
（3）若磁感应强度取（2）中最小值，且b=（

2

+1）a，要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出发点，粒子需经过多少次回旋？并求粒子在磁场中运动的时间．（设粒子与金属球正碰后电量不变且能以原速率原路返回）

Answer 1

分析：（1）根据动能定理，通过末动能求出加速电压的大小．
（2）根据洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求出粒子在磁场中运动的轨道半径的表达式，要使粒子不能到达大圆周，其最大的圆半径为轨迹圆与大圆周相切．
（3）根据题目给定的条件，画出带电粒子运动的轨迹，从而确定粒子在磁场中转过φ=270°，然后沿半径进入电场减速到达金属球表面，再经电场加速原路返回磁场，如此重复，恰好经过4个回旋后，沿与原出射方向相反的方向回到原出发点．

解答：解：（1）粒子在电场中加速，根据动能定律得：qU=

1

2

mv2
所以：v=

2qU m

（2）粒子进入磁场后，受洛伦兹力做匀速圆周运动，有：
qBv=m

v2

r

要使粒子不能到达大圆周，其最大的圆半径为轨迹圆与大圆周相切，如图，
则有：

a2+r2

=b-r
所以：r=

b2-a2

2b

联立解得：B =

2b

b2-a2

2mU q

（3）图中  tanθ=

r

a

=

b2-a2

2ab

=1即θ=45°                    

则粒子在磁场中转过φ=270°，然后沿半径进入电场减速到达金属球表面，再经电场加速原路返回磁场，如此重复，恰好经过4个回旋后，沿与原出射方向相反的方向回到原出发点．         
因为    T=

2πm

Bq

将B代入，得粒子在磁场中运动时间为t=4×

3

4

T=

3π(b2-a2)

b

m 2qU

答：（1）粒子到达小圆周上时的速度为

2qU m

；
（2）当磁感应强度超过某一临界值时，粒子将不能到达大圆周，求此最小值B =

2b

b2-a2

2mU q

；
（3）要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出发点，粒子需经过4次回旋；粒子在磁场中运动的时间

3π(b2-a2)

b

m 2qU

．

点评：本题粒子在有圆形边界的磁场做匀速圆周运动的问题，画出轨迹，根据几何知识分析临界条件，求半径和圆心角是常用的思路．