Question

9．如图所示，河道宽L=200m，越到河中央河水的流速越大，且流速大小满足u=0.2x（x是离河岸的距离，0≤x≤$\frac{L}{2}$）．一小船在静水中的速度v=10m/s，自A处出发，船头垂直河岸方向渡河到达对岸B处．AB两点间距离为200$\sqrt{2}$m．设船的运动方向与水流方向夹角为θ，则渡河过程中θ最小为arctan0.5．

Answer 1

分析 将船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，在垂直于河岸方向上的速度等于静水速，根据河宽以及在垂直于河岸方向上的速度求出渡河的时间．水流速与到河岸的最短距离x成正比，是成线性变化的，知水流速的平均速度等于$\frac{d}{4}$处的水流速．根据平均水流速，求出沿河岸方向上的位移，从而求出AB的直线距离，最后根据水流速度与距离的关系，得出在河中央处，水流速度，再结合三角知识，即可求解夹角的最小值．

解答 解：渡河的时间为：
t=$\frac{d}{{v}_{c}}$=$\frac{200}{10}$s=20s；
水流速的平均速度等于$\frac{d}{4}$处的水流速．则有：
u=0.4×$\frac{d}{4}$=10m/s．
所以沿河岸方向上的位移为：
x=ut=200m．
所以AB的直线距离为：
s=$\sqrt{20{0}^{2}+20{0}^{2}}$m=200$\sqrt{2}$m；
船在静水中速度是不变，而水流速度满足u=0.2x（x是离河岸的距离，0≤x≤$\frac{L}{2}$），因x=vt，那么u=2t，因此到达河中央前小船加速度大小为2 m/s²，
当到达中央时，水流速度为：u=0.2x=0.2×100=20m/s，
由三角知识，则有：tanθ=$\frac{10}{20}$=0.5；
故答案为：200$\sqrt{2}$；arctan0.5

点评 解决本题的关键知道合运动与分运动具有等时性，各分运动具有独立性，互不影响．同时掌握运动学公式的应用．