Question

如图所示的坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向．在x轴上方空间的第一、第二象限内，既无电场也无磁场，在第三象限，存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xOy平面（纸面）向里的匀强磁场，在第四象限，存在沿y轴负方向、场强大小与第三象限电场场强相等的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带电质点，从y轴上y=h处的P₁点以一定的水平初速度沿x轴负方向进入第二象限，然后经过x轴上x=-2h处的P₂点进入第三象限，带电质点恰好能做匀速圆周运动，之后经过y轴上y=-2h处的P₃点进入第四象限．已知重力加速度为g．试求：
（1）粒子到达P₂点时速度的大小和方向；
（2）第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小；
（3）带电质点在第四象限空间运动过程中最小速度的大小和方向；
（4）质点从P₁到第四象限速度最小位置所需的时间．

Answer 1

分析：（1）带电粒子先做平抛运动，将运动分解成水平方向匀速直线运动与竖直方向自由落体运动，从而求出粒子到达P₂点时速度的大小和方向；
（2）当带电粒子进入电场、磁场与重力场中时，重力与电场力相平衡，洛伦兹力提供向心力使其做匀速圆周运动，由平衡可得出电场强度大小，再几何关系可求出磁感应强度大小．
（3）粒子最后粒子进入电场与重力场中时，做类斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动．当竖直方向的速度减小到0．此时质点速度最小，根据速度的分解求出最小速度．
（4）所需的时间为二、三、四象限的运动之间之和．

解答：（1）轨迹如右图所示，带电质点从P₁到P₂，由平抛运动规律得：
h=

1

2

gt²
v₀=

2h

t

=

2gh

v_y=gt=

2gh

解得：v=

v02+vy2

=2

gh

…①
方向与x轴负方向成45°角
（2）带电质点从P₂到P₃，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力：
Eq=mg…②
Bqv=m

v2

R

…③
（2R）²=（2h）²+（2h）²…④
由②解得：E=

mg

q

联立①③④式得：B=

m

q

2g h

．
（3）带电质点进入第四象限，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动．当竖直方向的速度减小到0，此时质点速度最小，即v在水平方向的分量为：v_min=vcos45°=

2gh

，方向沿x轴正方向．
（4）在第二象限平抛，运动时间为：t1=

2h g

；
在第三象限匀速圆运动，运动时间为：t2=

πR

v

=

π

2

2h g

；
在第四象限类斜抛，运动时间为：t3=

1

2

2h g

；
所以运动的总时间为为：t=

3+π

2

2h g

；
答：（1）粒子到达P₂点时速度的大小2

gh

，方向与x轴负方向成45°角；
（2）第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小

m

q

2g h

；
（3）带电质点在第四象限空间运动过程中最小速度的大小

2gh

，方向沿x轴正方向；
（4）质点从P₁到第四象限速度最小位置所需的时间t=

3+π

2

2h g

．

点评：本题考查带电粒子在场中三种运动模型：匀速圆周运动、平抛运动和类斜抛运动，考查综合分析能力，以及空间想像的能力，做题时一边分析一边画出运动轨迹，画的运动轨迹尽量精确最好．