Question

15．我国火星探测器计划于2020年前后由长征五号运载火箭在海南发射场发射人轨，直接送入地火转移轨道．假设探测器到了火星附近，贴近火星表面做匀速圆周运动，现测出探测器运动的周期为T以及运行速率为v，不计周围其他天体的影响，万有引力常量为G．
（1）求火星的质量；
（2）设某星球的质量为M，一个质量为m的物体在离该星球球心r处具有的引力势能公式为E_P=$\frac{GMm}{r}$（取物体离该星球无穷远处势能为零）．若一颗质量为m'的卫星绕火星做半径为r₁的匀速圆周运动，后来因为需要卫星的轨道半径变为r₂，且r₁：r₂=1：2，求该卫星变轨前后在轨道上正常运行时的机械能之比．

Answer 1

分析 （1）根据周期与线速度的关系求出半径，再根据万有引力提供向心力求解火星质量；
（2）根据万有引力提供向心力公式求解星球的动能，根据引力势能表达式求出势能，进而求解机械能的表达式，从而求出该卫星变轨前后在轨道上正常运行时的机械能之比．

解答 解：（1）由T=$\frac{2πR}{v}$，可得火星半径约R=$\frac{vT}{2π}$，
由$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得火星的质量M=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$
（2）由$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得动能为：${E}_{K}=\frac{GMm}{2r}$
引力势能：${E}_{P}=-\frac{GMm}{r}$
故物体的机械能为：$E={E}_{K}+{E}_{P}=-\frac{GMm}{2r}$
可见：$E∝\frac{1}{r}$
故卫星变轨前后在轨道上正常运行时的机械能之比：$\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}=\frac{2}{1}$
答：（1）火星的质量为$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$；
（2）该卫星变轨前后在轨道上正常运行时的机械能之比2：1．

点评 本题主要考查了万有引力提供向心力公式的直接应用，本题重点是要利用好给定的引力势能，能求出机械能的表达式，难度适中．