题目内容
5．已知绕中心天体做匀速圆周运动的星体的轨道半径r，运动周期为T，（1）若中心天体的半径为R，则其平均密度ρ=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．
（2）若星体在中心天体表面附近做匀速圆周运动，则其平均密度ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．
（3）已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，如果不考虑地球自转的影响，用以上各量表示地球的平均密度为$\frac{3g}{4GπR}$．
分析 （1、2）根据万有引力提供圆周运动向心力求得中心天体质量，再根据密度公式求得密度；
（3）根据万有引力提供圆周运动向心力求得中心天体的质量，再根据密度公式求解．
解答 解：（1）据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得中心天体的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
据密度公式$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
（2）由题意知，第二问r=R，故ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
（3）在地球表面重力与万有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得地球质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
据密度公式有地球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4GπR}$
故答案为：$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，$\frac{3g}{4GπR}$．
点评 解决本题的关键是能抓住万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力来计算中心天体的质量，掌握密度公式和球的体积公式是关键．
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