Question

如图所示的“s”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，轨道在水平方向不可移动．弹射装置将一个小球（可视为质点）从a点水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从最高点d水平抛出（抛出后小球不会再碰轨道），已知小球与地面ab段间的动摩擦因数为μ=0.2，不计其它机械能损失，ab段长L=1.25m，圆的半径R=0.1m，小球质量m=0.01kg，轨道质量为M=0.26kg，g=10m/s²，求：
（1）若V₀=5m/s，小球经过轨道的最高点d时，管道对小球作用力的大小和方向．
（2）小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当V₀至少为多少时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力为零．

Answer 1

分析：（1）对a到d全过程运用动能定理求出运动到d点速度，在d点小球受重力和管道对小球的作用力，根据两个力的合力提供做圆周运动的向心力，求出管道对小球作用力的大小和方向．
（2）在c点对小球进行受力分析，依据向心力公式列方程，然后结合动能定理即可求解．

解答：解：（1）设小球到达d点处速度为v，由动能定理，得
-μmgL-4mgR=

1

2

mv_d²-

1

2

mv₀²…①
当小球通过d点时，由重力和弹力提供向心力，根据牛顿第二定律得
mg+F=

mv 2 d

R

…②
 由①②解得管道对小球作用力F=1.1N，方向竖直向下．
（2）设小球到达c点处速度为v_c，由动能定理，得
-μmgL-mg2R=

1

2

mv_c²-

1

2

mv₀²…③
当小球通过c点时，由牛顿第二定律得c点时
F′+mg=

mv 2 c

R

…④
要使轨道对地面的压力为零，则有：F′=Mg…⑤
联立③④⑤并代入数值，解得小球的最小速度：V₀=6m/s
答：（1）若V₀=5m/s，小球经过轨道的最高点d时，管道对小球作用力的大小是1.1N，方向竖直向下．
（2）小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当V₀至少为6m/s时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力为零．

点评：该题为动能定理与圆周运动的结合的综合题，解决本题的关键掌握动能定理，以及知道做圆周运动沿半径方向的合力提供向心力．