Question

1．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡另一点Q上，斜坡的倾角α，已知该星球的半径为R，引力常量为G，已知球的体积公式是V=$\frac{4}{3}$πR³．求：
（1）该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的密度．

Answer 1

分析 （1）平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力等于重力求出星球的质量，结合密度的公式求出星球的密度．

解答 解：（1）物体落在斜面上有：$tanα=\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$
所以有：g=$\frac{2{v}_{0}tanα}{t}$．
（2）根据万有引力等于重力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，解得星球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
而V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$．
则密度为：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3{v}_{0}tanα}{2πRtG}$．
答：（1）该星球表面的重力加速度为$\frac{2{v}_{0}tanα}{t}$．
（2）该星球的密度为$\frac{3{v}_{0}tanα}{2πRtG}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．