Question

在竖直平面内有一个半径为R的光滑圆环轨道，一个质量为m的小球穿在圆环轨道上做圆周运动，如图所示，到达最高点C时的速率是v_C=

4gR 5

，则下列说法中正确的是（　　）

• A．此小球的最大速率是

  6

  v_C
• B．小球到达C点时对轨道的压力是

  4

  5

  mg
• C．小球在任一直径两端点上的动能之和相等
• D．小球沿圆轨道绕行一周所用的时间小于π

  5R g

Answer 1

分析：因为圆环轨道是光滑的，只有重力做功，所以机械能守恒，可以求得在最低点时的最大速度；
对物体受力分析，根据圆周运动的向心力公式可以求得对轨道的作用力，由周期公式可以知道物体运动的周期．

解答：解：A、速度最大的点应该是最低点时，根据动能定理：

1

2

mV²-

1

2

mVc²=2mgR，解得V=

24gR 5

=

6

Vc，所以A正确．
B、在C点有：mg-T=m

V 2 c

R

，得T=

1

5

mg，所以B错误．
C、整个过程中机械能守恒，在任一直径两端点上的点，它们的高度之和都是2R，即它们的重力势能的和相等，由于总的机械能守恒，所以它们的动能之和也相等，所以C正确．
D、由T=

2πR

V

，当速度最小时，代入计算可得T=π

5R g

，之后小球的速度在变大，所以T要减小，所以T＜π

5R g

，所以D正确．
故选ACD．

点评：小球穿在圆环轨道上做圆周运动，属于杆的模型，在最高点时速度最小，向心力最小，最低点时速度最大，向心力最大，由机械能守恒可以求它们之间的关系．