Question

如图所示，质量为m的小球P自距离A点4R高处下落，然后沿A点切线方向进入竖直平面内的光滑轨道ABC．AB是半径为R的

1

4

圆弧轨道，BC是直径为R的半圆弧轨道，B是轨道最低点，在B点有另一个质量也为m的静止的小球Q．小球P和小球Q碰撞后粘在一起变成整体S，整体S继续沿半圆轨道向上运动到C点时对轨道的压力恰好为零，求：
（1）小球P和小球Q碰撞时损失的机械能；
（2）整体S离开C点后至撞上圆弧轨道的过程中竖直下落的高度．

Answer 1

分析：（1）根据机械能守恒定律求出小球P撞击小球Q前的速度大小，根据动量守恒定律求出两球的共同速度，从而根据能量守恒求出碰撞过程中机械能的损失量．
（2）结合整体在C点对轨道的压力为零，根据牛顿第二定律求出在C点的速度，离开C点做平抛运动，结合平抛运动的规律和几何关系求出竖直下落的高度．

解答：解：（1）根据机械能守恒定律，有：mg(4R+R)=

1

2

m

v

2 0

解得：小球P撞击小球Q前的速度为：v0=

10gR

由动量守恒定律有：mv₀=2mv
解得：两球的共同速度为：v=

1

2

10gR

所以碰撞中的机械能损失为：△E=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

×2mv2=2.5mgR
（2）因为整体S在C点对轨道的压力恰为零，所以有：2mg=

2m v 2 C

R 2

vC=

gR 2

两球离开C点做平抛运动：x=v₀t，y=

1

2

gt2
AB轨道位于以C点为圆心的圆周上：x²+y²=R²
解得：y=

5 -1

2

R=0.618R
答：（1）小球P和小球Q碰撞时损失的机械能2.5mgR．
（2）整体S离开C点后至撞上圆弧轨道的过程中竖直下落的高度为0.618R．

点评：本题考查了动量守恒、能量守恒定律、牛顿第二定律的综合，涉及到平抛运动和圆周运动，综合性较强，是一道好题．