Question

两个带电量均为+q小球，质量均为m，固定在轻质绝缘等腰直角三角形框架OAB的两个端点A、B上，另一端点用光滑铰链固定在O点，整个装置可以绕垂直于纸面的水平轴在竖直平面内自由转动．直角三角形的直角边长为L．
（1）若施加竖直向上的匀强电场E₁，使框架OB边水平、OA边竖直并保持静止状态，则电场强度E₁多大？在此电场中，此框架能否停止在竖直平面内任意位置？
（2）若改变匀强电场的大小和方向（电场仍与框架面平行），为使框架的OB边水平、OA边竖直（A在O的正下方），则所需施加的匀强电场的场强E₂至少多大？方向如何？
（3）若施加竖直向上的匀强电场E₃=，并将A球的带电量改为-q，其余条件不变，试找出框架所有可能的平衡位置，求出OA边与竖直方向的夹角θ，并画出所对应的示意图．

Answer 1

【答案】分析：（1）以O为支点，根据三角架力矩平衡，求解电场强度E₁．
（2）若改变匀强电场的大小和方向，设匀强电场E₂的方向与竖直方向夹角为θ，根据力矩平衡条件列式得到场强E₂与θ的表达式，根据数学知识求极值，得到强E₂的最小值．
（3）若施加竖直向上的匀强电场E₃=，将A球的带电量改为-q，A球所受的电场力方向变为竖直向下，设三角形框架平衡时OA边偏离竖直方向θ角，由力矩平衡条件得出θ值，画出三角形框架可能的出现的平衡位置示意图．
解答：解：（1）根据有固定转动轴物体的平衡条件，有qE₁L=mgL  ①
得   ②
在此电场中，电场力刚好抵消重力，此三角形框架能停止在竖直平面内任意位置．
（2）设匀强电场E₂的方向与竖直方向夹角为θ，则根据有固定转动轴物体的平衡条件，有
  qE₂Lcosθ+qE₂Lsinθ=mgL  ③
即
当时，  ④
（3）设三角形框架平衡时OA边偏离竖直方向θ角，则OB边偏离水平方向的夹角也为θ，根据有固定转动轴物体的平衡条件，有
  qE₃Lcosθ=mgLcosθ+（mg+qE₃）Lsinθ  ⑤
将代入，解得：，⑥
三角形框架可能的出现的平衡位置如图所示：

点评：对于有固定转动轴的类型，系统静止时力矩平衡是基本规律，根据物理规律得到表达式可以运用数学知识求极值．第2题也可以这样求解：
为使三角形框架的OB边保持水平状态，且匀强电场的场强E₂最小，应使电场力对A、B产生的力矩达到最大，所以其方向应沿AB连线斜向上，根据有固定转动轴物体的平衡条件，有③解得：④