Question

竖直平面内的轨道ABCD由水平滑道AB与光滑的四分之一圆弧滑道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道放在光滑的水平面上，如图所示．一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平滑道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平滑道AB的中点．已知水平滑道AB长为L，轨道ABCD的质量为 3m．求：
（1）小物块的最终速度；
（2）小物块在水平滑道上受到的摩擦力的大小；
（3）为了保证小物块不从滑道的D端离开滑道，圆弧滑道的半径R至少是多大？

Answer 1

分析：（1）物块冲上滑道AB后的运动过程中，系统水平方向不受外力，动量守恒，物块最终与滑道的速度相同，由动量守恒定律求最终速度；
（2）系统的动能损失等于克服摩擦做功，根据功能关系求摩擦力的大小；
（3）若小物块刚好到达D处，此时它与轨道有共同的速度，此速度与上题最终速度相等，根据整个过程功能关系列式求解．

解答：解：（1）小物块冲上轨道的初速度设为v，
  E=

1

2

mv2
最终停在AB的中点，跟轨道有相同的速度，设为V
在这个过程中，系统动量守恒，有mv=（m+M）V
∴v=

1

4

2E m

（2）系统的动能损失用于克服摩擦做功，有
△E=

3

2

fL
解得摩擦力 f=

E

2L

（3）若小物块刚好到达D处，此时它与轨道有共同的速度（与V相等），在此过程中系统总动能减少转化内能（克服摩擦做功）和物块的重力势能，同理，有
△E₁=

1

2

mv2-

1

2

(M+m)v2=

3

4

E=fL+mgR
解得要使物块不从D点离开滑道，CD圆弧半径至少为R=

E

4mg

．
答：
（1）小物块的最终速度为=

1

4

2E m

；
（2）小物块在水平滑道上受到的摩擦力的大小为

E

2L

；
（3）为了保证小物块不从滑道的D端离开滑道，圆弧滑道的半径R至少是

E

4mg

．

点评：本题是系统水平方向动量守恒和能量守恒的类型，关键要抓住临界条件，结合两大守恒定律进行分析．