Question

如图所示，质量为m₁=0.5kg的杯子里盛有m₂=1kg的水，用绳子系住水杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为r=1m，水杯通过最高点的速度为v₁=4m/s，g=10m/s²．求：
（1）在最高点时，水对杯底的压力．
（2）水杯运动到最低点时的速度大小．
（3）要使杯子过最高点时水不溢出，水杯过最低点时的速度至少为多大？

Answer 1

分析：（1）最高点，水受重力和向下的压力，根据牛顿第二定律列式求解；
（2）对从最高点到最低点过程运用动能定理列式求解；
（3）先求解恰好到最高点的速度，然后对从最高点到最低点过程运用动能定理列式，最后联立求解即可．

解答：解：（1）设在最高点杯对水的压力为F，由牛顿第二定律得：

F+m2g=m2 v 2 1 r

；
解得：

F=m2 v 2 1 r -m2g =1× 42 1 -1×10 =6(N)

由牛顿第三定律可知水对杯底向上的压力为6N；
（2）由动能定理得
(m1+m2)g×2r=

1

2

(m1+m2)

v

2 2

-

1

2

(m1+m2)

v

2 1

解得：v2=

4gr+ v 2 1

=

4×10×1+42

=2

14

(m/s)；
（3）水在最高点不溢出的临界速度为：v0=

gr

=

10×1

=

10

(m/s)；
由机械能守恒定律可得

1

2

(m1+m2)

v

2 3

=

1

2

(m1+m2)

v

2 0

+(m1+m2)g×2r；
解得：v3=

4gr+ v 2 0

=

4×10×1+10

=5

2

(m/s)；
答：（1）在最高点时，水对杯底的压力为6N．
（2）水杯运动到最低点时的速度大小为2

14

m/s．
（3）要使杯子过最高点时水不溢出，水杯过最低点时的速度至少为5

2

m/s．

点评：本题关键明确水杯的运动规律，然后选择过程运用动能定理列式，同时明确最高点重力和弹力的合力提供向心力．