Question

16．如图，光滑平台左端与半径R=0.6m的半圆光滑轨道相切，且都固定．平台上A、B两滑块间压缩有一轻质弹簧（用细线拴住），其中m_A=1.5kg，m_B=1kg．紧靠平台右侧放有M=4kg的木板，其上表面与平台等高．剪断细线后，B以v_B=9m/s的速度冲上木板．已知B与木板间的动摩擦因数μ₁=0.5，木板与地面间的动摩擦因数为μ₂，两滑块都可看作质点，不考虑A与B分离后再对B运动的影响，取g=10m/s²．求：
（1）A滑至半圆轨道最高点Q时，轨道对其压力的大小；
（2）要保证B不滑出木板，木板的最短长度记为L．试讨论并求出μ₂与L的关系式，求出L的最小值．

Answer 1

分析 1、对AB滑块，由动量守恒定律得分离时的速度，根据动能定理得出在Q点速度，再根据牛顿第二定律求解
2、根据的μ₂大小进行分类讨论，μ₂较大，长木板静止不动； 滑块B在木板上做匀减速运动，
μ₂较小，滑块B先做匀减速，木板做匀加速，两者共速后一起运动，不再发生相对滑动，根据牛顿第二定律和运动学公式求解．

解答 解：（1）对AB滑块，规定向左为正方向，
由动量守恒定律得：m_Av_p-m_Bv_B=0
可得：v_p=6m/s                                                    
A滑块从P运动到Q，由动能定理可得：
-2m_AgR=$\frac{1}{2}$m_A${v}_{Q}^{2}$-$\frac{1}{2}$m_A${v}_{p}^{2}$
在Q点由牛顿第二定律可得：F+m_Ag=m_A$\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$                         
解得F=15N                                                 
（2）若μ₂（M+m_B）g=μ₁m_Bg得：μ₂=0.1                               
讨论：
①当μ₂≥0.1，因μ₂（M+m_B）g≥μ₁m_Bg
 所以滑块B在长木板上滑动时，长木板静止不动； 滑块B在木板上做匀减速运动，至长木板右端时速度刚好为0．
滑块B，根据牛顿第二定律得
a₁=μ₁g=5m/s²．
则木板长度至少为L=$\frac{{v}_{B}^{2}}{{2a}_{1}}$=8.1m                                  
②当μ₂＜0.1，滑块B先做匀减速，木板做匀加速，两者共速v_共后一起运动，不再发生相对滑动，设共速时B恰好滑至板的最右端．
设经时间t₀滑块B和木板共速，则
木板，根据牛顿第二定律得
a₂=$\frac{{{{μ}_{1}m}_{B}g-μ}_{2}（{M+m}_{B}）g}{M}$=$\frac{5-5{0μ}_{2}}{4}$
滑块B匀减速，根据运动学公式得
s₁=v_Bt₀-$\frac{1}{2}$a₁${t}_{0}^{2}$
v_共=v_B-a₁t₀
木板匀加速，根据运动学公式得
s₂=$\frac{1}{2}$a₂${t}_{0}^{2}$
v_共=a₂t₀
相对位移L=s₁-s₂                                    
联立得L=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2（{{a}_{1}+a}_{2}）}$=$\frac{2×81}{25-5{0μ}_{2}}$                               
所以μ₂越小，L越小．当μ₂=0时，L的值最小．
将μ₂=0代入上式，
解得：L=6.48m                              
综上分析：板长的最短长度L为6.48m
答：（1）A滑至半圆轨道最高点Q时，轨道对其压力的大小是15N；
（2）当μ₂≥0.1，木板长度至少为8.1m，当μ₂＜0.1，板长的最短长度L为6.48m．

点评 本题过程比较复杂，分析清楚物体运动过程是正确解题的前提与关键，确定研究对象与研究过程，应用牛顿第二定律、运动学公式、动量守恒定律、能量守恒定律即可正确解题．