题目内容

精英家教网如图所示，直角坐标平面xOy内有一条直线AC过坐标原点O与x轴成45°夹角，在OA与x轴负半轴之间的区域内存在垂直xOy平面向外的匀强磁场B，在OC与x轴正半轴之间的区域内存在垂直xOy平面向外的匀强磁场B2．现有一质量为m，带电量为q（q＞0）的带电粒子以速度v从位于直线AC上的P点，坐标为（L，L），竖直向下射出，经测量发现，此带电粒子每经过相同的时间T，会再将回到P点，已知距感应强度B2=
mv
qL
．（不计粒子重力）
（1）请在图中画出带电粒子的运动轨迹，并求出匀强磁场B1与B2的比值；（B1、B2磁场足够大）
（2）求出带电粒子相邻两次经过P点的时间间隔T；
（3）若保持磁感应强度B2不变，改变B1的大小，但不改变其方向，使B1=
mv
2qL
．现从P点向下先后发射速度分别为
v
4
和
v
3
的与原来相同的带电粒子（不计两个带电粒子之间的相互作用力，并且此时算作第一次经过直线AC），如果它们第三次经过直线AC时轨迹与AC的交点分别 记为E点和F点（图中未画出），试求EF两点间的距离．
（4）若要使（3）中所说的两个带电粒子同时第三次经过直线AC，问两带电粒子第一次从P点射出时的时间间隔△t要多长？
分析：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解轨道半径；真空中做匀速直线运动；画出轨迹；
（2）根据t=
θ
2π
?T和T=
2πm
qB
求解出圆周运动的时间，再求解出匀速直线运动的时间后相加即可；
（3）粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求解出半径之间的关系，然后画出对应的轨迹，得到EF间距；
（4）两带电粒子在同一磁场中的周期相同，转过的圆心角也相同，故在同一磁场中的运动时间相同，所以时间间隔△t就是直线运动的时间差．
解答：精英家教网解：（1）带电粒子从P点匀速运动到Q点，然后作半径为：qvB2=m
v2
R2
?R2=
mv
qB2
=L的匀速圆周运动，运动到H点时的速度方向与AC垂直，从H点匀速运动到D点，后作匀速圆周运动到P点．
根据平面几何知识可知：
.
PO
=
.
OD
=
2
L，四边形AODOR1R为棱形，OR1R为圆心，即带电粒子在匀强磁场BR1R中作匀速圆周运动时的半径RR1R为
2
L，根据qvB1=m
v2
R1
，
得：B1=
2
mv
2qL
=
2
2
B2；
（2）T=t1+t2+t3+t4
t1=
L
v
，
t2=
3
8
T2=
3πL
4v
，
t3=
L
v
，
t4=
5
8
T2=
5
2
πL
4v

解得：T=t1+t2+t3+t4=
(8+3π+5
2
π)L
4v
；
（3）两带电粒子在磁场BR2R中运动时的半径为：R′2=
m
v
4
qB2
=
L
4
，
R″2=
m
v
3
qB2
=
L
3

B1=
mv
2qL
=
B2
2
，
故粒子在磁场BR1R中的运动半径：
R1=
mv
qB1
=2R2，
则两带电粒子都刚好运动
1
4
圆周到达A点，所以EF两点间的距离EF=0（如图所示）；
（4）两带电粒子在同一磁场中的周期相同，转过的圆心角也相同，故在同一磁场中的运动时间相同，所以时间间隔△t就是直线运动的时间差：
△t=
L+
L
2
v
4
-
L+
L
3
v
3
=
2L
v
；
答：（1）带电粒子的运动轨迹如图所示，匀强磁场B1与B2的比值为
2
2
；
（2）带电粒子相邻两次经过P点的时间间隔T为
(8+3π+5
2
π)L
4v
；
（3）EF两点间的距离为0．
（4）两带电粒子第一次从P点射出时的时间间隔△t为
2L
v
．
点评：本题关键明确粒子的运动性质，画出运动轨迹，然后分匀速圆周运动和直线运动阶段讨论．
练习册系列答案
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在“研究平抛物体的运动”的实验中：
（1）验证实验得到的轨迹是否准确的一般方法是：在水平方向从起点处取两段连续相等的位移交于曲线两点，作水平线交于y轴，两段y轴位移之比为
1：3
1：3
．
（2）某同学建立的直角坐标如图所示，设他在安装实验装置和其他操作时准确无误，只有一处失误，即
坐标原点应为小球在槽口时球心在木板上的水平投影点
坐标原点应为小球在槽口时球心在木板上的水平投影点
．
（3）该同学在轨迹上任取一点M，测得坐标为（x，y），初速度的测量值为
x
g
2y
x
g
2y
，真实值为
x
g
2y+d
x
g
2y+d
．
精英家教网如图所示，在直角坐标平面的第I象限内有一匀强磁场区域，磁感应强度为B，直线OA是磁场右侧的边界．在第Ⅱ象限区域，存在电场强度大小为E的水平向左的匀强电场，y轴是电场、磁场区域的分界线曲线，OM满足方程x=-ky2（k＞0）．有一带电荷量为q、质量为m的负粒子（重力不计）在曲线OM上某一点由静止释放，穿越y轴进入磁场中．
（1）求带电粒子穿越y轴时的速度与释放点纵坐标的关系式；
（2）若粒子从OM上任何位置释放，要求粒子穿过磁场区域后，都垂直于x轴射出求直线OA与x轴的夹角正切值tanθ（用题中已知物理量的符号表示）

如图所示，在xoy平面内的第三象限中有沿－y方向的匀强电场，场强大小为E.在第一和第二象限有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于直角坐标平面向里。今有一个质量为m、电荷量为e的电子，从y轴的P点以初速度v0垂直于电场方向进入电场（不计电子所受重力）。经电场偏转后，沿着与x轴负方向成45°进入磁场，并能返回到原出发点P。

   （1）简要说明电子的运动情况，并画出电子运动轨迹的示意图；  

   （2）求P点距坐标原点的距离；

   （3）电子从P点出发经多长时间再次返回P点？

如图所示，在xoy平面内的第三象限中有沿－y方向的匀强电场，场强大小为E.在第一和第二象限有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于直角坐标平面向里。今有一个质量为m、电荷量为e的电子，从y轴的P点以初速度v0垂直于电场方向进入电场（不计电子所受重力）。经电场偏转后，沿着与x轴负方向成45°进入磁场，并能返回到原出发点P。
（1）简要说明电子的运动情况，并画出电子运动轨迹的示意图；  
（2）求P点距坐标原点的距离；
（3）电子从P点出发经多长时间再次返回P点？

如图所示，直角坐标平面Oxy在竖直平面内，y轴竖直向上，在第一象限内分布着方向竖直向上的匀强电场(不包含y轴)，场强大小用E1，表示，在第二象限内分布着方向沿x轴负方向的匀强电场，场强大小用E2表示。用长度为L的绝缘细线将质量为m、电荷量为+q的带电小球(可看成质点)悬挂在P点，P点在y轴上，坐标为((0, 2L)，在P点正下方与P点距离小于L的某点Q钉一钉子。现用外力把小球拉到左侧与P等高处，细线被拉直与x轴平打，由静止释放，小球运动到最低点时绳恰被拉断，然后进入第一象限，经过时间，立即在第一象限内再加垂直于Oxy平面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度为，再经过时间to，=撤去匀强磁场。已知E1=，E2=，细线能够承受的最大拉力是F0=3mg。(结果用g、L、m表示)求：

(1)小球在下摆过程中的最大速度vm=?

(2)Q点与P点之间的距离h=?

(3)小球在第一象限运动的时间t=? 小球离开第一象限的位置坐标?

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