Question

8．如图所示，地球半径为R，O为球心，A为地球表面上的点，B为0、A连线间的中点．设想在地球内部挖掉一以B为圆心，半径为$\frac{R}{4}$的球，忽略地球自转影响，将地球视为质量分布均匀的球体．则挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为（　　）

• A． $\frac{15}{16}$
• B． $\frac{31}{32}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 挖去以B为圆心，半径为$\frac{R}{4}$的球前，地球表面的重力等于万有引力大小，挖去后，表面物体的重力等于原来地球对物体的引力与半径为$\frac{R}{4}$的球对物体的引力之差，结合质量和密度的关系求出挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比．

解答 解：挖前，质量为m的物体在A点受到的重力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
挖去后质量为M′的球体后在A点受到的重力$mg′=G\frac{Mm}{{R}^{2}}-G\frac{M′m}{（\frac{R}{2}）^{2}}$，
$M=ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，$M′=ρ\frac{4}{3}π（\frac{R}{4}）^{3}$，
联立各式解得$\frac{g′}{g}=\frac{15}{16}$．
故选：A．

点评 解决本题的关键知道挖去球后，地球表面物体的重力等于原来未挖去前所受的引力减去挖去部分对物体引力之差，这是解决本题的关键突破口．