题目内容

5．如图所示，在空间有一坐标系xOy中，直线OP与x轴正方向的夹角为30°，第一象限内有两个方向都垂直纸面向外的匀强磁场区域I和II，直线OP是他们的边界，OP上方区域I中磁场的磁感应强度为B．一质量为m，电荷量为q的质子（不计重力）以速度v从0点沿与OP成30°角的方向垂直磁场进入区域I，质子先后通过磁场区域I和II后，恰好垂直打在x轴上的Q点（图中未画出），则下列说法正确的是（　　）
A．区域II中磁感应强度为2B
B．区域II中磁感应强度为3B
C．粒子在第一象限的运动时间为$\frac{5πm}{6qB}$
D．粒子在第一象限的运动时间为$\frac{7πm}{12qB}$

分析 质子在两个磁场中由洛伦兹力提供向心力，均做匀速圆周运动．根据圆的对称性可知，质子从A点出磁场I时的速度方向与OP的夹角为30°，即与x轴平行．在区域II中，由题分析可知，质子运动$\frac{1}{4}$圆周，由几何知识作出轨迹，如图．由几何关系，得到质子在两个磁场中轨迹半径与OA的关系，由牛顿第二定律研究两个磁感应强度的关系，求解区域II中磁场的磁感应强度大小．求出质子运动轨迹所对应的圆心角，然后求出质子在磁场中做圆周运动的时间．

解答 解：设质子在磁场I和II中做圆周运动的轨道半径分别为r1和r2，区域II中磁感应强度为B′，
由牛顿第二定律得：qvB=$m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$…①
qvB′=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$…②
粒子在两区域运动的轨迹如图所示，由带电粒子才磁场中运动的对称性和几何关系可知，质子从A点出磁场I时的速度方向与OP的夹角为30°，故质子在磁场I中轨迹的圆心角为：θ=60°，如图所示：
则△O1OA为等边三角形，有：OA=r1 …③，
在区域II中，质子运动$\frac{1}{4}$圆周，O2是粒子在区域II中做圆周运动的圆心，r2=OAsin30°…④
由①②③④解得区域II中磁感应强度为：B′=2B，故A正确，B错误．
质子在Ⅰ区运动轨迹对应的圆心角：φ=60°，
在Ⅱ区运动轨迹对应的圆心角为：φ′=90°，
质子在Ⅰ区的运动周期：T1=$\frac{2πm}{qB}$，运动时间t1=$\frac{60°}{360°}{T}_{1}=\frac{πm}{3qB}$，
质子在Ⅱ区运动的周期：T2=$\frac{2πm}{qB′}=\frac{πm}{qB}$，运动时间t2=$\frac{90°}{360°}{T}_{2}=\frac{πm}{4qB}$，则粒子在第一象限内的运动时间t=${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{7πm}{12qB}$．故C错误，D正确．
故选：AD．

点评 带电粒子通过磁场的边界时，如果边界是直线，根据圆的对称性得到，带电粒子入射速度方向与边界的夹角等于出射速度方向与边界的夹角，这在处理有界磁场的问题常常用到．

练习册系列答案
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（2）甲同学已经测得电阻Rx=1.8Ω，继续测电源电动势E和内阻r的阻值，该同学的做法是：闭合S1，将S2切换到a，多次调节电阻箱，读出多组电阻箱示数R和对应的电压表示数U，由测得的数据，绘出了如题图2所示的$\frac{1}{U}-\frac{1}{R}$图线，则电源电动势E=2V，内阻r=8.2Ω；
（3）利用甲同学设计的电路和测得的电阻Rx，乙同学测电源电动势E和内阻r的阻值的做法是：闭合S1，将S2切换到b，多次调节电阻箱，读出多组电阻箱示数R和对应的电压表示数U，由测得的数据，绘出了相应的$\frac{1}{U}$-$\frac{1}{{R+{R_x}}}$图线，根据图线得到电源电动势E和内阻r，这种做法与甲同学的做法比较，由于电压表测得的数据范围较小（选填“较大”、“较小”或“相同”），所以甲同学的做法更恰当些．
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