Question

13．如图所示，水平地面上固定一个光滑轨道ABC，该轨道由两个半径均为R的$\frac{1}{4}$圆弧$\widehat{AB}$、$\widehat{BC}$平滑连接而成，O₁、O₂分别为两段圆弧所对应的圆心，O₁O₂的连线竖直，O₁D是一倾角为45°的虚线，现将一质量为m的小球（可视为质点）由轨道上P点（图中未标出）静止释放，重力加速度为g，求
（1）P点至少距离地面多高，小球可在B点脱离轨道
（2）P点距离地面多高，小球恰好可击中O₁D线．

Answer 1

分析 （1）先对从P到B过程，根据动能定理列式求出小球通过B点的速度表达式．小球在B点脱离轨道时，轨道对小球没有支持力，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律和向心力列式，再联立求解；
（2）考虑临界情况，击中D点，平抛的水平分位移为2R，竖直分位移为R，先根据平抛运动的分运动公式列式；再根据动能定理列式，最后联立求解．

解答 解：（1）P点至少距离地面h时，小球可在B点脱离轨道．
对从P到B过程，根据动能定理，有：
  mg（h-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$；
在B点，由重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
  mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$；
联立解得：h=1.5R
（2）小球离开B点做平抛运动，恰好可击中O₁D线时速度与O₁D相切，设水平位移大小为x，则有：
  x=v_Bt
  x-R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
且有 tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{B}}$=$\frac{gt}{{v}_{B}}$
联立以上三式：v_B=$\sqrt{2gR}$
对从P点到B点过程，由动能定理有：
 mg（H-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-0
联立解得：H=2R
答：
（1）P点至少距离地面1.5R高，小球可在B点脱离轨道；
（2）P点距离地面2R高，小球恰好可击中O₁D线．

点评 本题关键是明确球的运动情况，把握小球恰好可击中O₁D线的条件：速度与O₁D线相切．能够结合平抛运动分运动公式、向心力公式、牛顿第二定律、动能定理列式求解．