Question

4．物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能，取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m₀的质点距质量为M₀的引力源中心为r₀时，其引力势能E_P=-$\frac{G{M}_{0}{m}_{0}}{{r}_{0}}$（式中G为引力常数）．一颗质量为m的人造地球卫星以圆形轨道环绕地球飞行，已知地球的质量为M，由于受高空稀薄空气的阻力作用，卫星的圆轨道半径从r₁逐渐减小到r₂，若在这个过程中空气阻力做功为W_t，则在下面给出的W_t的四个表达式中正确的是（　　）

• A． W_t=-$\frac{GMm}{3}$（$\frac{1}{{r}_{2}}$-$\frac{1}{{r}_{1}}$）
• B． W_t=-GMm（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）
• C． W_t=-$\frac{GMm}{2}$（$\frac{1}{{r}_{2}}$-$\frac{1}{{r}_{1}}$）
• D． W_t=-$\frac{GMm}{3}$（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）

Answer 1

分析 求出卫星在半径为r₁圆形轨道和半径为r₂的圆形轨道上的动能，从而得知动能的减小量，通过引力势能公式求出势能的增加量，根据能量守恒求出发动机所消耗的最小能量．

解答 解：卫星在圆轨道半径从r₁上时，根据万有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{r}_{1}^{2}}=\frac{m{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
解得${E}_{K1}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{GMm}{2{r}_{1}}$．
卫星的总机械能：${E}_{1}={E}_{K1}+{E}_{P1}=\frac{GMm}{2{r}_{1}}-\frac{GMm}{{r}_{1}}$=$-\frac{GMm}{2{r}_{1}}$
同理：卫星的圆轨道半径从r₂上时，${E}_{K2}=\frac{GMm}{2{r}_{2}}$
卫星的总机械能：E₂=$-\frac{GMm}{2{r}_{2}}$
卫星的圆轨道半径从r₁逐渐减小到r₂．在这个过程中空气阻力做功为W_f，等于卫星机械能的减少：${W}_{t}={E}_{2}-{E}_{1}=-\frac{GMm}{2}（\frac{1}{{r}_{2}}-\frac{1}{{r}_{1}}）$．故A错误；B错误；C正确；D错误．
故选：C．

点评 解决本题的关键得出卫星动能和势能的和即机械能的变化量，从而客服空气阻力做功为W_t等于卫星机械能的减少这个功能关系计算即可．