Question

宇宙中存在着质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成韵四星系统（忽略其他星体对它们的引力作用）．设四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四令顶点上且它们均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，星体运动周期为T，每个星体表面的重力加速度为g，引力常量为G，试求：
（1）星体做匀速圆周运动的轨道半径；
（2）每个星体的半径和质量．

Answer 1

分析：（1）圆心为正方向中心，故半径为

2

2

a；
（2）根据星球表面重力等于万有引力列式，再根据其他三个星体对第四个星体万有引力的合力提供其运动所需的向心力列式，最后联立求解即可．

解答：解：（1）星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，可得到：
星体做匀速圆周运动的轨道半径r=

2

2

a①
（2）由万有引力的定律可知G

m m′

R2

=m′ g②
其他三个星体对第四个星体万有引力的合力提供其运动所需的向心力，可得G

m2

( 2  a)2

+2G

m2

a2

cos45°=m?

2

2

a?

4π2

T2

③
解得：m=

4 2

1+2 2

?

π2a3

GT2

R=

2πa

T

2 1+2 2  ?  a g

④
答：（1）星体做匀速圆周运动的轨道半径为

2

2

a；
（2）每个星体的半径为

2πa

T

2 1+2 2  ?  a g

，质量为

4 2

1+2 2

?

π2a3

GT2

．

点评：本题关键是明确星球转动的向心力来源，然后根据万有引力定律、向心力公式和牛顿第二定律列式后联立求解．