Question

20．如图所示，间距为L=0.2m的两条平行金属导轨与水平面的夹角为θ=37°，导轨足够长且电阻忽略不计．两导轨的上端点之间连接有一阻值为R=1Ω的电阻，下端点固定一个套在导轨上的轻质弹簧，弹簧的自由端分别位于导轨的a、b两点．以a、b两点为界，上端导轨粗糙，且分布有垂直于导轨平面，磁感应强度为B=1T的匀强磁场；下端导轨光滑，且不存在磁场．一质量为m=0.1kg、电阻不计的导体棒从c、d位置由静止开始沿导轨下滑，到达a、b两点之前导体棒的速度就已经保持不变．导体棒被弹簧再次弹出，上滑一段时间后速度减为零，到达位置e、f．已知导体棒与粗糙导轨部分的动摩擦因数为μ=0.25，导体棒运动过程中始终与导轨垂直．求
（1）以上所述运动过程中，导体棒在磁场中的最大速度和最大加速度分别为多大？
（2）若用t表示导体棒从脱离弹簧到速度减为零的时间，则此时间内电阻上产生的热量为多大？（用含有字母t的表达式来表示）

Answer 1

分析 （1）导体棒下滑过程中受重力、支持力、滑动摩擦力和安培力，速度为零时加速度最大；当加速度减小为零时速度到达最大．根据牛顿第二定律列式求解．
（2）先对上滑过程根据牛顿第二定律和微分法求解上滑的位移，再根据功能关系列式求解产生的热量．

解答 解：（1）开始时安培力为零，故加速度最大，根据牛顿第二定律，有：
 mgsin37°-μmgcos37°=ma
解得：a=g（sin37°-μcos37°）=10×（0.6-0.25×0.8）=4m/s²
当加速度为零时速度最大，设为v，故：
  mgsin37°-μmgcos37°-F_A=0
其中：F_A=BIL
   I=$\frac{BLv}{R}$
联立解得：v=$\frac{mgR（sin37°-μcos37°）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{0.1×10×1×（0.6-0.25×0.8）}{{1}^{2}×0．{2}^{2}}$m/s=10m/s
（2）棒压缩弹簧的过程中，只有重力做功，机械能守恒，所以返回ab位置时速度大小为v，方向沿斜面向上．
设在棒上滑的过程中，棒上移的最大位移为x，速度为v时加速度为a，在极短时间△t内速度的变化量大小为△v，位移为△x．
根据牛顿第二定律得：
  $\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$+μmgcos37°=ma=m$\frac{△v}{△t}$
变形得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$△t+μmgcos37°•△t=m△v
两边求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$△t）+$\sum_{\;}^{\;}$（μmgcos37°•△t）=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
又v△t=△x
代入上式得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}x}{R}$+μmgcos37°•t=mv
解得 x=（25-5t）m
根据功能关系可得：此时间内电阻上产生的热量为 Q=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-μμmgcos37°•x=t J
答：
（1）导体棒在磁场中的最大速度和最大加速度分别为4m/s²和10m/s． 
（2）此时间内电阻上产生的热量为t J．

点评 本题关键是明确导体棒的受力情况、运动情况和能量转化情况，注意导体棒加速下滑过程是加速度逐渐减小的加速运动，第二问要采用微分法求解，其切入口是牛顿第二定律和加速度的定义式．