Question

2011年11月1日5时58分07秒，中国“长征二号F”遥八运载火箭在酒泉卫星发射中心载人航天发射场点火起飞，将“神舟八号”飞船发射升空．根据轨道计算结果，“神舟八号”飞船于6时7分53秒进入近地点约200千米，远地点329千米，轨道倾角为42度，周期5379秒的初始轨道，随后在地面测控通信系统的导引下，神舟八号飞船经五次变轨，从初始轨道转移到330千米的近圆轨道．现假设长征二号运载火箭托举着神舟八号飞船送入近地点为A、远地点为B的初始椭圆轨道上，A点距地面的高度为h₁，如图所示．以后变轨到近园轨道上运行，若飞船在近圆轨道上飞行n圈所用时间为t．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R．飞船的质量为m₀．求：
（1）飞船在A点的加速度大小a．
（2）飞船在远地点B距地面的高度h₂．
（3）假设飞船在初始椭圆轨道A点的速度为V_A，变轨后进入近园轨道运行，这个过程合外力对飞船做的功．

Answer 1

分析：（1）设地球质量为M．飞船在A点：G

Mm0

(R+h)2

=m0a ，对地面上质量为m的物体有G

Mm

R2

=mg，联立即可求解；
（2）根据万有引力提供向心力周期关系即可求解高度；
（3）根据万有引力提供向心力速度公式结合动能定理即可求解．

解答：解：（1）设地球质量为M．
飞船在A点：G

Mm0

(R+h)2

=m0a 
对地面上质量为m的物体：G

Mm

R2

=mg
解得：a=

R2

(R+h1)2

g
（2）飞船在近圆轨道上飞行的周期：T=

t

n

近圆轨道半径为r=h₂+R，
则有：G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
解出：h₂=

3	gR2t2 4π2n2

-R                    
（3）设飞船在近圆轨道上运动的速度为V_B，
G

Mm0

(R+h2)2

=

m0VB2

R+h2

 
由动能定理可得：外力对飞船做的功W：
W=

1

2

m0VB2-

1

2

m0VA2=

m0gR2

2

3	4π2n2 R2gt2

-

1

2

m0VA2
答：（1）飞船在A点的加速度大小a为

R2

(R+h1)2

g；
（2）飞船在远地点B距地面的高度h₂为

3	gR2t2 4π2n2

-R；
（3）假设飞船在初始椭圆轨道A点的速度为V_A，变轨后进入近园轨道运行，这个过程合外力对飞船做的功为

m0gR2

2

3	4π2n2 R2gt2

-

1

2

m0VA2．

点评：本题主要考查了万有引力提供向心力公式的直接应用，注意选取适当的公式解题，难度适中．