Question

半径为R、质量为M的圆形薄板A与半径为r、质量为m的小球B用轻绳连接，开始时A与B挨在一起。在它们下方h=0.2m处有一固定支架C，支架中心有一半径为R’的圆孔(r<R’<R)，圆孔、薄板和小球中心都在同一直线上，如图所示。现释放球与薄板，使它们一起自由下落，当薄板A落到固定支架C上时，与支架发生碰撞，碰撞时间极短，碰后薄板A以原速率返回，而球B继续向下运动，直到轻绳绷紧。绳的绷紧过程也极短，绷紧后球B与板A具有相同的速度v。

①若M=9m，轻绳的长度L满足什么条件，可使轻绳绷紧后的瞬间球与板的速率v的方向是向下的？

②若轻绳长度L=0.4m，M=km，试讨论绳绷紧后的瞬间，球与板的共同速度v的方向与k值的关系。

Answer 1

答案：AB
解析：

解　①A与C相碰前，A．B一起作自由落体运动，末速度v0==2m/s。 A与C碰后以初速v0作竖直上抛运动，B继续向下运动，设这段运动经历时间t，显然 t≤=0.2s。 则小球B自由下落的最大距离 sm=v0t+=0.6m，因此绳长L≤0.8m。 要使绳绷紧后的瞬间A．B的速度v方向向下，就要满足绳绷直前A．B的总动量方向向下，即　　　　　　　mv1+Mv2>0（M=9m）, 设向下为正方向，绳刚绷直后的瞬间球的速度　v1= v0+gt，板的速度v2= - v0+ gt， 以板A为参考系，球B做速度为2 v0的匀速运动，时间 t=L/2 v0。 解以上各式，得L>0.64m，所以轻绳长度应满足的条件是0.64m<L≤0.8m。 ②当轻绳长0.4m时，由上面关系t=L/2 v0=0.1s， 绳临绷直时的速度v1=3m/s，v2= -1m/s， 绳绷直过程中，A．B系统动量守恒，m v1+M v2=(m+M)v， 可得v=。当k=3时，v=0；当k <3时，v >0，方向向下；当k >3时，v <0，方向向上。