题目内容
如图所示，光滑水平面上，质量为2m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m的小球A以初速度v0向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间，A与弹簧分离．（弹簧始终处于弹性限度以内）
（1）在上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多大；
（2）若开始时在B球的右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在A 球与弹簧分离之前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立刻将挡板撤走．设B球与固定挡板的碰撞时间极短，碰后B球的速度大小不变但方向相反．试求出此后弹簧的弹性势能最大值的范围．
（1）在上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多大；
（2）若开始时在B球的右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在A 球与弹簧分离之前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立刻将挡板撤走．设B球与固定挡板的碰撞时间极短，碰后B球的速度大小不变但方向相反．试求出此后弹簧的弹性势能最大值的范围．
（1）当A球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A、B速度相同时，弹簧的势能最大．
设A、B的共同速度为v，弹簧的最大势能为E，则A、B系统动量守恒：mv0=（m+2m）v①
由机械能守恒：
m
=
(m+2m)v2+E…②
联立两式得：E=
m
…③
（2）设B球与挡板碰撞前瞬间的速度为vB，此时A的速度为vA．
系统动量守恒：mv0=mvA+2mvB…④
B与挡板碰后，以vB向左运动，压缩弹簧，当A、B速度相同（设为v共）时，弹簧势能最大，为Em，则：mvA-2mvB=3mv共…⑤
m
=
×3m
+Em…⑥
由④⑤两式得：v共=
代入⑥式，化简得：Em=
[-(vB-
)2+
]…⑦
而当弹簧恢复原长时相碰，vB有最大值vBm，则：
mv0=mvA′+2mvBm
mv02=
mvA′2+
×2mvBm2
联立以上两式得：vBm=
v0即vB的取值范围为：0＜
≤
v0…⑧
结合⑦式可得：当vB=
时，Em有最大值为：
m
…⑨
当vB=
时，Em有最小值为：
m
答：（1）弹簧的最大弹性势能是E=
m
．
（2）此后弹簧的弹性势能最大值的范围为[
m
，
m
]．
设A、B的共同速度为v，弹簧的最大势能为E，则A、B系统动量守恒：mv0=（m+2m）v①
由机械能守恒：
| 1 |
| 2 |
| v | 20 |
| 1 |
| 2 |
联立两式得：E=
| 1 |
| 3 |
| v | 20 |
（2）设B球与挡板碰撞前瞬间的速度为vB，此时A的速度为vA．
系统动量守恒：mv0=mvA+2mvB…④
B与挡板碰后，以vB向左运动，压缩弹簧，当A、B速度相同（设为v共）时，弹簧势能最大，为Em，则：mvA-2mvB=3mv共…⑤
| 1 |
| 2 |
| v | 20 |
| 1 |
| 2 |
| v | 2共 |
由④⑤两式得：v共=
| v0-4vB |
| 3 |
| 8m |
| 3 |
| v0 |
| 4 |
3
| ||
| 16 |
而当弹簧恢复原长时相碰，vB有最大值vBm，则：
mv0=mvA′+2mvBm
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
联立以上两式得：vBm=
| 2 |
| 3 |
| v | B |
| 2 |
| 3 |
结合⑦式可得：当vB=
| v0 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| v | 20 |
当vB=
| 2v0 |
| 3 |
| 1 |
| 27 |
| v | 20 |
答：（1）弹簧的最大弹性势能是E=
| 1 |
| 3 |
| v | 20 |
（2）此后弹簧的弹性势能最大值的范围为[
| 1 |
| 27 |
| v | 20 |
| 1 |
| 2 |
| v | 20 |
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