Question

如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R．一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，脱离弹簧后当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动完成半个圆周运动恰好到达C点．试求：
（1）弹簧开始时的弹性势能；
（2）物体从B点运动至C点克服阻力做的功；
（3）物体离开C点后落回水平面时的速度大小和方向．

Answer 1

分析：（1）研究物体经过B点的状态，根据牛顿运动定律求出物体经过B点的速度，得到物体的动能，物体从A点至B点的过程中机械能守恒定律，弹簧的弹性势能等于体经过B点的动能；
（2）物体恰好到达C点时，由重力充当向心力，由牛顿第二定律求出C点的速度，物体从B到C的过程，运用动能定理求解克服阻力做的功；
（3）物体离开轨道后做平抛运动，运用运动的合成和分解法求出物体离开C点后落回水平面时的速度大小和方向．

解答：解：（1）物块在B点时，由牛顿第二定律得：F_N-mg=m

v 2 B

R

，
由题意：F_N=7mg
物体经过B点的动能：E_kB=

1

2

mv_B²=3mgR     
在物体从A点至B点的过程中，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能：E_p=E_kB=3mgR．
（2）物体到达C点仅受重力mg，根据牛顿第二定律有：mg=m

v 2 C

R

，E_kC=

1

2

mv_C²=

1

2

mgR
物体从B点到C点只有重力和阻力做功，根据动能定理有：W_阻-mg?2R=E_kC-E_kB
解得：W_阻=-0.5mgR
所以物体从B点运动至C点克服阻力做的功为：W=0.5mgR．
（3）物体离开轨道后做平抛运动，
水平方向有：vx=vc=

gR

坚直方向有：vy=

2?g?2R

=2

gR

落地时的速度大小：v=

vx2+vy2

=

5gR

与水平方向成θ角斜向下：tanθ=

vy

vx

=2．得θ=arctan2．
答：（1）弹簧开始时的弹性势能是3mgR；
（2）物体从B点运动至C点克服阻力做的功为0.5mgR；
（3）物体离开C点后落回水平面时的速度大小是

5gR

，方向与水平方向成arctan2角．

点评：本题的解题关键是根据牛顿第二定律求出物体经过B、C两点的速度，再结合动能定理、平抛运动的知识求解．