Question

某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如图所示不用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3……N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1.将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰.(不计空气阻力，忽略绳的伸长，g取10 m/s²)

(1)设与n+1号球碰撞前，n号球的速度为v_n,求n+1号球碰撞后的速度.

(2)若N＝5,在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16k(16 h小于绳长)问k值为多少？

Answer 1

解：(1)设n号球质量为m,n+1，碰撞后的速度分别为取水平向右为正方向，据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为v_n、0、m_n+1

根据动量守恒，有                  (1)

根据机械能守恒，有=          (2)  

由（1）、(2)得

设n+1号球与n+2号球碰前的速度为E_n+1

据题意有v_n-1=

得v_n-1==                                       (3)

（2）设1号球摆至最低点时的速度为v₁,由机械能守恒定律有

                                         (4)

v₁=                                              (5)

同理可求，5号球碰后瞬间的速度

                                        (6)

由(3)式得                        (7)

N=n=5时，v₅=                         (8)

由(5)、(6)、(8)三式得

k=                          （9）

（3）设绳长为l,每个球在最低点时，细绳对球的拉力为F,由牛顿第二定律有

                                            (10)

则            (11)

（11）式中E_kn为n号球在最低点的动能

由题意1号球的重力最大，又由机械能守恒可知1号球在最低点碰前的动能也最大，根据（11）式可判断在1号球碰前瞬间悬挂1号球细绳的张力最大，故悬挂1号球的绳最容易断.