Question

19．一个固定在竖直平面内的光滑圆环，小球B穿在圆环上可无摩擦滑动．轻质弹簧一端固定在圆环最高点A，另一端与小球B连接，小球B在如图所示位置处于静止状态．圆环的圆心为O点，半径为R．弹簧原长等于R，与竖直方向夹角为α=30°．小球重为G，可看成质点．求：
（1）圆环对小球的作用力；
（2）弹簧的劲度系数．

Answer 1

分析 以小球为研究对象，分析受力情况，作出力图．根据平衡条件，运用三角形相似法得到圆环对小球作用力大小和弹簧弹力大小，再由胡克定律求出弹簧的劲度系数．

解答 解：解：以小球为研究对象，分析受力情况：竖直向下的重力G，弹簧的弹力F，圆环的弹力N，N沿半径方向背离圆心O，作出力图如图所示．利用合成法，将重力G和弹力N合成，合力F_合应与弹簧弹力F平衡．由图看出，力的三角形△BCD与△AOB相似，设AB长度为l，由三角形相似得：
$\frac{mg}{F}$=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{R}{l}$，
而l=2Rcos30°
即得：F=$\frac{mgl}{r}$=$\sqrt{3}$G
$\frac{N}{R}$=$\frac{mg}{R}$  
得：N=G
又由胡克定律有F=k（l-R），联立上述各式可得：k=$\frac{\sqrt{3}G}{（\sqrt{3}-1）R}$．
答：（1）圆环对小球的作用力为G；
（2）弹簧的劲度系数为$\frac{\sqrt{3}G}{（\sqrt{3}-1）R}$．

点评 本题中非直角类型的物体的平衡问题，采用数学上三角形相似法，将力的关系变成边长的关系．也可以运用三角函数法求解．