Question

5．如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成53°固定放置，导轨间连接一阻值为4Ω的电阻R，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线L₁、L₂间有一与导轨所在平面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场区域的宽度为d=0.5m．导体棒a的质量为m_a=0.6kg，电阻R_a=4Ω；导体棒b的质量为m_b=0.2kg，电阻R_b=12Ω；它们分别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好．现从图中的M、N处同时将它们由静止开始释放，运动过程中它们都能匀速穿过磁场区域，当b刚穿出磁场时，a正好进入磁场（g取10m/s²，sin53°=0.8，且不计a、b之间电流的相互作用）．求：
（1）在整个过程中，a、b两导体棒分别克服安培力做的功；
（2）在a穿越磁场的过程中，a、b两导体棒上产生的焦耳热之比；
（3）在穿越磁场的过程中，a、b两导体棒匀速运动的速度大小之比；
（4）M点和N点之间的距离．

Answer 1

分析 两个导体棒同时从光滑的斜导轨向下滑动，又分别匀速穿过已知宽度的匀强磁场区域，这也算是一个连接体问题．
（1）由于两导体在磁场中匀速穿过，由平衡条件可以求出安培力大小，再由功的公式求出两导体棒克服安培力做的功．
（2）在a穿越磁场的过程中，a是电源，b与R是外电路，根据并联电路规律可得总电流（a棒）与b棒的电流之比，再由焦耳定律求出两导体棒上产生的焦耳热之比国．
（3）由于a、b两棒穿过磁场区域时均匀速，由各自的平衡条件、切割产生感应电动势公式、安培力公式等能够求出a、b两棒匀速运动的速度大小之比．这也同进为下一步计算作一个铺垫．
（4）因为有一个偶然条件，当b离开磁场时，a刚好进入磁场，都是匀速直线运动．则a、b两棒的速度有关系，再加上上一问所求速度之比，这样两棒的速度值可以求出，在斜面上匀加速直线运动的位移大小能够求出，位移之差就是M、N两点的距离．

解答 解：（1）根据在磁场中运动受力平衡得：F_安a=m_agsin53°．
      a棒克服安培力做的功为：W_a=m_agdsin53°=2.4J
      同理：W_b=m_bgdsin53°=0.8J
（2）在a穿越磁场的过程中，a是电源，b与R是外电路，由并联规律有：
       I_a=I_b+I_R       I_bR_b=I_RR       ${I}_{b}=\frac{{I}_{R}}{3}$
      所以：$\frac{{I}_{a}}{{I}_{b}}=4$．
      由焦耳定律得：$\frac{{Q}_{a}}{{Q}_{b}}=\frac{{{I}_{a}}^{2}{R}_{a}t}{{{I}_{b}}^{2}{R}_{b}t}={4}^{2}×\frac{4}{12}=\frac{16}{3}$．
（3）设b在磁场中匀速直线运动运动的速度为v_b，则有b中的电流${I}_{b}=\frac{BL{v}_{b}}{{R}_{总1}}$，电路的总电阻R_总1=14Ω
     根据受力平衡得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{b}}{{R}_{总1}}=\\;{m}_{b}gsin53°$m_bgsin53° 
     同理：a棒在磁场中匀速直线运动时R_总2=7Ω   
     根据受力平衡得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{a}}{{R}_{总2}}={m}_{a}gsin53°$．
      可得：$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}=\frac{3}{2}$
（4）由题意得，当b在磁场中匀速运动时a继续加速，
    对a棒有：v_a=v_b+gsin53°•t，
     对b棒：d=v_bt
    因为：${{v}_{a}}^{2}=2gsin53°•{S}_{a}$      ${{v}_{b}}^{2}=2gsin53°•{S}_{b}$
   可得M点、N点到时L₁的距离分别为：${S}_{a}=\frac{9}{8}m$，${S}_{b}=\frac{1}{2}m$   
    所以：${S}_{MN}=\frac{5}{8}m$ 
答：（1）在整个过程中，a、b两导体棒分别克服安培力做的功为2.4J 和0.8J．
（2）在a穿越磁场的过程中，a、b两导体棒上产生的焦耳热之比为$\frac{16}{3}$．
（3）在穿越磁场的过程中，a、b两导体棒匀速运动的速度大小之比为$\frac{3}{2}$．
（4）M点和N点之间的距离为$\frac{5}{8}m$．

点评 画龙点睛之笔在于最后两问，a、b两棒的速度，综合了平衡条件、安培力、切割产生电动势等公式；求M、N两点间的距离，由于a、b的速度都是由于未进入磁场时在斜面上加速获得，当b在磁场中匀速时，a在斜面上加速，对该过程列方程，能够求出a、b的速度，从而a、b匀加速直线运动的位移能够求出，两者之差就是M、N两点的距离．