Question

11．质量为m的小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时绳子拉直，且与水平方形呈30°夹角，将小球A无初速度释放，绳长为L，如图所示，试求：
（1）若d=$\frac{5L}{6}$，绳子碰钉子后通过B点正上方时绳子的拉力大小；
（2）为了是小球能绕B点作完成的圆周运动，d的取值范围．

Answer 1

分析 根据动能定理求出小球到达最高点时的速度，再在最高点，根据向心力公式列式求解绳子拉力大小，为使球能绕B点做圆周运动，在D点绳子的拉力和重力的合力提供向心力，当绳子的拉力等于零时，小球的速度最小，根据向心力公式求出最小速度，再根据动能定理列式即可求解

解答 解：（1）从释放到运动到B点正上方时，根据动能定理得：mg$（L-2×\frac{1}{6}L）$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ 
    解得：v=$\sqrt{\frac{4}{3}gL}$
  在最高点，根据向心力公式得：T+mg=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{L}{6}}$
  解得：T=8mg
（2）球能绕B点做圆周运动，在D点根据向心力公式有：
    mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
 当F=0时，速度取最小值
  所以v$≥\sqrt{gr}$=$\sqrt{g（L-d）}$
  小球从最高点运动到D点的过程中运用动能定理得：$\frac{1}{2}$mv²-0=mg（2d-L）
  解得：v=$\sqrt{2g（2d-L）}$
   则   $\sqrt{2g（2d-L）}$$≥\sqrt{g（L-d）}$   则d$≥\frac{3}{5}L$
由题意得  d＜L
所以有：L＞d$≥\frac{3}{5}L$
答：（1）若d=$\frac{5L}{6}$，绳子碰钉子后通过B点正上方时绳子的拉力大小为8mg；
（2）为了是小球能绕B点作完成的圆周运动，d的取值范围为L＞d$≥\frac{3}{5}L$

点评 本题主要考查了动能定理及向心力公式的直接应用，知道竖直平面内的圆周运动，在最高点和最低点是由合外力提供向心力，难度不大，属于基础题