题目内容

11．某小组同学在研究图1所示的电磁枪原理时，绘制了图2所示的简图（为俯视图），图中两平行金属导轨间距为L，固定在水平面上，整个装置处在竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，平行导轨左端电路如图所示，电源的电动势为E，电容器的电容为C．一质量为m、长度也为L的金属导体棒垂直于轨道平放在导轨上，忽略摩擦阻力和导轨的电阻，假设平行金属导轨足够长．

（1）将开关S接a，电源对电容器充电．
a．求电容器充电结束时所带的电荷量Q；
b．请在图3中画出充电过程中电容器两极板间的电压u随电容器所带电荷量q变化的图象；借助u-q图象求出稳定后电容器储存的能量E0．
（2）电容器充电结束后，将开关接b，电容器放电，导体棒由静止开始运动，不计放电电流引起的磁场影响．
a．已知自由电子的电荷量为e，请你分析推导当导体棒获得最大速度之后，导体棒中某一自由电子所受的电场力与导体棒最大速度之间的关系式；
b．导体棒由静止到获得最大速度的过程中，由于存在能量损失△E损，电容器释放的能量没有全部转化为导体棒的动能，求△E损．

分析 （1）a、根据Q=CU即可求出求电容器充电结束时所带的电荷量Q；
b．结合电容的定义式即可画出电压u随电容器所带电荷量q变化的图象；根据电势能的定义，然后借助u-q图象求出稳定后电容器储存的能量E0．
（2）a、导体棒的速度最大时，电容器两端的电压与导体棒上产生的感应电动势相同，然后结合电场力的关系即可求出；
b、根据Q=CU求出电容器的放电电量，然后结合动量定理即可求出．

解答 解：（1）a、电容器充电完毕后，电容器两端的电压等于电源的电动势，所以电容器的带电量：
Q=CE
b、根据电容器的定义式：C=$\frac{Q}{U}$  ①
所以：u=$\frac{1}{C}•q$，电压与电量成正比，所以画出u-q的图线如图：

充电的过程中克服电场力做的功：W=qU
所以图线与横坐标围成的面积即为电容器储存的能量．有：
${E}_{0}=\frac{1}{2}EQ$   ②
联立①②得：${E}_{0}=\frac{1}{2}C{E}^{2}$   ③
（2）导体棒的速度最大时，电容器两端的电压与导体棒上产生的感应电动势相同，则：
U=E棒=BLvm   ④
导体棒中恒定电场的场强：${E}_{电}=\frac{U}{L}=B{v}_{m}$
所以导体棒中的电子受到的电场力：F=e•E电=eBvm
b、由（1）可得，导体棒的速度最大时，电容器上储存的电能：${E}_{1}=\frac{1}{2}C{U}^{2}$  ⑤
导体棒由静止到获得最大速度的过程中，根据能量守恒定律得：${E}_{0}={E}_{1}+\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}+△{E}_{损}$  ⑥
该过程中电容器放出的电荷量：△Q=CE-CU⑦
设该过程中的平均电流$\overline{I}$，时间为t，根据动量定理得：$BL\overline{I}t=m{v}_{m}-0$⑧
其中：$Q=\overline{I}t$  ⑨
联立④⑤⑥⑦⑧⑨得：$△{E}_{损}=\frac{mC{E}^{2}}{2（m+C{L}^{2}{B}^{2}）}$
答：（1）a．电容器充电结束时所带的电荷量是CE；
b．画出充电过程中电容器两极板间的电压u随电容器所带电荷量q变化的图象如图；稳定后电容器储存的能量是$\frac{1}{2}C{E}^{2}$．
（2）a．已知自由电子的电荷量为e，当导体棒获得最大速度之后，导体棒中某一自由电子所受的电场力与导体棒最大速度之间的关系式为F=eBvm；
b．导体棒由静止到获得最大速度的过程中，由于存在能量损失△E损，电容器释放的能量没有全部转化为导体棒的动能，能量损失△E损为$\frac{mC{E}^{2}}{2（m+C{L}^{2}{B}^{2}）}$．

点评 本题是电磁感应与电路、力学知识的综合，解答的关键是由电路的串联关系先求出电容器两端的电压，再求出电子所受的电场力与导体棒最大速度之间的关系．

练习册系列答案
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B．磁感应强度B一定等于B=$\frac{F}{IL}$
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