Question

（2007?海淀区模拟）磁流体动力发电机的原理如图所示，一个水平放置的上下、前后封闭的横截面为矩形的塑料管，其宽度为l，高度为h，管内充满电阻率为ρ的某种导电流体（如水银）．矩形塑料管的两端接有涡轮机，由涡轮机提供动力使流体通过管道时具有恒定的水平向右的流速v₀．管道的前、后两个侧面上各有长为d的相互平行且正对的铜板M和N．实际流体的运动非常复杂，为简化起见作如下假设：①垂直流动方向横截面上各处流体的速度相同；②流体不可压缩；③当N、N之间有电流通过时，电流只从M、N之间正对的区域内通过．
（1）若在两个铜板M、N之间的区域加有竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场，则当流体以稳定的速度v₀流过时，两铜板M、N之间将产生电势差．求此电势差的大小，并判断M、N两板哪个电势较高；
（2）用电阻可忽略不计的导线将铜板M、N外侧相连接（设电流只分布在M、N之间的长方体内），由于此时磁场对流体有力的作用，使流体的稳定速度变为v（v＜v₀），求磁场对流体的作用力；
（3）为使速度增加到原来的值v₀，涡轮机提供动力的功率必须增加，假设流体在流动过程中所受的阻力与它的流速成正比，试导出新增加功率的表达式．

Answer 1

分析：（1）流体通过管道时切割磁感线产生感应电动势，根据法拉第电磁感应定律求出两铜板间的电势差．由右手定则判断电势高低．
（2）根据电阻定律求出两个铜面之间区域的电阻R的表达式．结合安培力的大小公式，求出磁场对流体的作用力．
（3）功率的增加量等于压力差功率的增加量，根据压力差的变化求出功率增加量的表达式．

解答：解：（1）由法拉第电磁感应定律，两铜板间的电势差  E=Blv₀
由右手定则可判断出M板的电势高
（2）用电阻可忽略不计的导线将铜板M、N外侧相连接，即铜板由外侧短路后，M、N两板间的电动势  E=Blv
短路电流  I=

E

R内

  R_内=ρ

l

hd

磁场对流体的作用力  F=BIl
解得：F=

vB2hld

ρ

方向与v方向相反（或水平向左）
（3）设流体在流动过程中所受的阻力与流速的比例系数为k，所以在外电路未短路时流体以稳定速度v₀流过，此时流体所受的阻力（即涡轮机所提供的动力） F₀=kv₀
此时涡轮机提供的功率  P₀=F₀v₀=kv₀²
外电路短路后，流体仍以稳定速度v₀流过时，设此时磁场对流体的作用力为F_磁，根据第（2）问的结果可知F_磁=

v0B2hld

ρ

此时涡轮机提供的动力 F_t=F₀+F_磁=kv₀+

v0B2hld

ρ

此时涡轮机提供的功率 P_t=Fv₀=kv₀²+

v 2 0 B2hld

ρ

所以新增加功率△P=P_t-P₀=

v 2 0 B2hld

ρ

答：
（1）电势差为Blv₀，由右手定则可判断出M板的电势高．
（2）磁场对流体的作用力为

vB2hld

ρ

．
（3）增加功率的表达式为△P=

v 2 0 B2hld

ρ

．

点评：解决本题的关键掌握电阻定律、安培力大小和方向的判断，难点在于通过平衡求出流体新的稳定速度v的表达式．