Question

（2007?潍坊模拟）一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F随时间t的变化规律如图乙所示．F₁、F₂已知，引力常量为G，忽略各种阻力．求：
（1）星球表面的重力加速度
（2）星球的密度．

Answer 1

分析：（1）小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度．
（2）万有引力等于重力，求出星球的质量，然后由密度公式求出星球的密度．

解答：解：（1）由乙图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F₂，在最低点拉力为F₁．
设最高点速度为v₂，最低点速度为v₁，绳长为l．
在最高点：F2+mg=

m v 2 2

l

    ①，
在最低点：F1-mg=

m v 2 1

l

     ②，
由机械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 1

=mg?2l+

1

2

m

g

2 2

   ③，
由①②③解得：g=

F1-F2

6m

；④
（2）在星球表面：

GMm

R2

=mg  ⑤
星球密度：ρ=

M

V

  ⑥，
由⑤⑥解得：ρ=

F1-F2

8πGmR

；
答：（1）星球表面的重力加速度为：

F1-F2

6m

．
（2）星球的密度为

F1-F2

8πGmR

．

点评：本题考查了求重力加速度、星球密度等问题，应用牛顿第二定律、万有引力定律、机械能守恒定律、密度公式即可正确解题．