Question

13．由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
（1）A星体所受合力大小F_A；
（2）B星体所受合力大小F_B；
（3）C星体的轨道半径R_C；
（4）三星体做圆周运动的周期T．

Answer 1

分析 （1）（2）由万有引力定律，分别求出单个的力，然后求出合力即可．
（3）C与B的质量相等，所以运行的规律也相等，然后结合向心力的公式即可求出C的轨道半径；
（4）三星体做圆周运动的周期T相等，写出C的向心加速度表达式即可求出．

解答 解：（1）由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小：
${F}_{BA}={F}_{CA}=\frac{G{m}_{A}{m}_{c}}{{a}^{2}}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$
方向如图，则合力的大小为：${F}_{A}=2{F}_{BA}•cos30°=2\sqrt{3}\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
（2）同上，B星受到的引力分别为：${F}_{AB}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，${F}_{CB}=\frac{G{m}_{B}{m}_{C}}{{a}^{2}}=\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，方向如图；

沿x方向：${F}_{Bx}={F}_{AB}•cos60°+{F}_{CB}=2\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
沿y方向：${F}_{By}={F}_{AB}•sin60°=\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
可得：${F}_{B}=\sqrt{{F}_{Bx}^{2}+{F}_{By}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
（3）通过对于B的受力分析可知，由于：${F}_{AB}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，${F}_{CB}=\frac{G{m}_{B}{m}_{C}}{{a}^{2}}=\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，合力的方向经过BC的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在BC的中垂线AD的中点处．所以：${R}_{C}={R}_{B}=\sqrt{（\frac{1}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}a）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}a$
（4）由题可知C的受力大小与B的受力相同，对C星：${F}_{C}={F}_{B}=\sqrt{7}\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}{R}_{C}$
整理得：$T=π•\sqrt{\frac{{a}^{3}}{Gm}}$
答：（1）A星体所受合力大小是$2\sqrt{3}\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$；（2）B星体所受合力大小是$\frac{\sqrt{7}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$；（3）C星体的轨道半径是$\frac{\sqrt{7}}{4}a$；（4）三星体做圆周运动的周期T是$π•\sqrt{\frac{{a}^{3}}{Gm}}$．

点评 该题借助于三星模型考查万有引力定律，其中B与C的质量相等，则运行的规律、运动的半径是相等的．画出它们的受力的图象，在结合图象和万有引力定律即可正确解答．