Question

如图所示，四分之三周长圆管的半径R=0.4m，管口B和圆心O在同一水平面上，D是圆管的最高点，其中半圆周BE段存在摩擦，BC和CE段动摩擦因数相同，ED段光滑；质量m=0.5kg、直径稍小于圆管内径的小球从距B正上方高H=2.5m的A处自由下落，到达圆管最低点C时的速率为6m/s，并继续运动直到圆管的最高点D飞出，恰能再次进入圆管，假定小球再次进入圆筒时不计碰撞能量损失，取重力加速度g=10m/s²，求
（1）小球飞离D点时的速度．
（2）小球从B点到D点过程中克服摩擦所做的功．
（3）小球再次进入圆管后，能否越过C点？请分析说明理由．

Answer 1

分析：（1）小球从最高点D飞出做平抛运动，由水平距离和竖直距离求出小球飞离D点时的速度．
（2）根据动能定理求出小球从B点到D点过程中克服摩擦所做的功．
（3）应用动能定理求出小球第二次经过C点的速度，如果经过C点的速度大于零，则能过C点，如果小于零，则不能过C点．

解答：解：（1）小球飞离D点后做平抛运动，
在水平方向：R=v_Dt，竖直方向：R=

1

2

gt²，
解得：v_D=

2

m/s；
（2）小球从A到D过程中，由动能定理得：
mg（H-R）-W_f1=

1

2

mv_D²-0，解得：W_f1=10J；
（3）小球从C到D过程中，由动能定理得：
-2mgR-W_f2=

1

2

mv_D²-

1

2

mv_C²，解得：W_f2=4.5J，
小球从A到C过程中，由动能定理得：
mg（H+R）-W_f3=

1

2

mv_C²-0，解得：W_f3=5.5J；
小球再次从D到C的过程中，由动能定理得：
-2mgR-W_f4=

1

2

mv_C²-

1

2

mv_D²，
解得：W_f4=4.5J-

1

2

mv_C²，
W_f4＜W_f2=4.5J，v_C′＞0，小球能过C点．
答：（1）小球飞离D点时的速度为

2

m/s．
（2）小球从B点到D点过程中克服摩擦所做的功为10J．
（3）小球再次进入圆管后，能越过C点，因为到达C点时速度大于零．

点评：本题是动能定理和向心力知识的综合应用，这类问题常常涉及到临界条件．第（3）问中用动能定理求变力的功也是常用方法．