题目内容

20.2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程.某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想:如图,将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上,与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接,然后由飞船送“玉兔”返回地球.设“玉兔”质量为m,月球半径为R,月面的重力加速度为g月.以行星体表面为零势能面,物体在星体表面上方h高度的引力势能可表示为Ep=$\frac{GMmh}{R(R+h)}$,其中G为引力常量,M为星体质量.求:
(1)月球密度;
(2)若忽略月球的自转,从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功.

分析 (1)月球表面的重力等于其万有引力,由此即可求出月球的质量,再结合密度与体积的关系即可求出密度;
(2)先根据万有引力提供向心力,以及重力等于万有引力,求出“玉兔”绕月球做圆周运动的动能,再根据功能关系求解需要对“玉兔”做的功.

解答 解:(1)根据万有引力提供向心力,得:$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$
又:V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
M=ρV
联立得:ρ=$\frac{2{g}_{月}}{4πGR}$
(2)根据万有引力提供向心力,得:
  G$\frac{Mm}{(R+h)^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$
在月球表面上,由重力等于万有引力,则得:G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g月,即有GM=g月R2;
“玉兔”绕月球做圆周运动的动能 Ek=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立以上三式解得:Ek=$\frac{m{g}_{月}{R}^{2}}{2(R+h)}$
“玉兔”在h高度的引力势能为Ep=$\frac{GMmh}{R(R+h)}$=$\frac{m{g}_{月}{R}^{2}h}{R(R+h)}$=$\frac{m{g}_{月}Rh}{R+h}$
根据功能关系得:从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为 W=Ep+Ek=$\frac{m{g}_{月}R}{R+h}$(h+$\frac{1}{2}$R)
答:(1)月球密度是$\frac{2{g}_{月}}{4πGR}$;
(2)若忽略月球的自转,从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功是$\frac{m{g}_{月}R}{R+h}$(h+$\frac{1}{2}$R).

点评 解决本题的关键掌握万有引力的两个重要理论:1、万有引力等于重力,2、万有引力提供向心力,并能灵活运用.

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