Question

我国于1984年4月8日成功发射了一颗同步轨道（也叫静止轨道）通信卫星，8天后定位于东经125°的赤道上空，成为少数几个能独立发射同步卫星的国家之一.已知地球表面的重力加速度g=9.8 km/s，地球半径R=6 400 km，月球公转周期为T′=27 d，月球轨道半径R′≈60R，试求地球同步卫星距地面的高度和运行速度.

Answer 1

解析：设地球质量为M，同步卫星质量为m，离地高度为h，其公转周期与地球自转周期相同为T=1 d=86 400 s，由于地球对同步卫星的万有引力提供了卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力，因此有：

所以①

根据地面物体所受重力近似等于所受地球的万有引力，有：GM=gR²②

由①②式得同步卫星离地高度：③

将g=9.8 m/s²，R=6.4×10⁶ m，T=8.64×10⁴ s

代入③式得：h≈3.6×10⁷ m④

同步卫星的运行速度为：⑤

将有关数据代入⑤式解得：v≈3.1 km/s.

方法归纳 本题中根据地面或地面附近物体所受重力近似等于万有引力得出的导出式GM=gR²（通常称为“黄金代换”），在今后关于人造卫星的计算中，会经常被用到，应引起关注.

巧妙变式 本题还可以应用开普勒定律求离地高度：因为月球和同步卫星都围绕地球转动，所以有：

因为R′≈60R，T=1 d，T′≈27 d，

所以，

.