Question

（2006?红桥区模拟）在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心间的距离大于L（L比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间的距离等于或小于L时，两球之间存在相互作用的恒定斥力F．设A球从远离B球处以速度v₀沿球连心线向原来静止的B球运动，如图所示．欲使两球不发生接触，v₀必须满足什么条件？

Answer 1

分析：A球向B球接近至A、B间的距离小于L之后，A球的速度逐步减小，B球从静止开始加速运动，两球间的距离逐步减小．当A、B两球的速度相等时，两球间的距离最小．若此距离大于2 r，则两球就不会接触．结合牛顿第二定律和运动学公式求出v₀必须满足的条件．

解答：解：A球向B球接近至A、B间的距离小于L之后，A球的速度逐步减小，B球从静止开始加速运动，两球间的距离逐步减小．当A、B两球的速度相等时，两球间的距离最小．若此距离大于2 r，则两球就不会接触，所以不接触的条件是
v₁=v₂
L+s₂-s₁＞2r
其中v₁、v₂为当两球间距离最小时，A、B两球的速度，s₁、s₂为两球间距离从L变至最小的过程中，A、B两球通过的路程．由牛顿第二定律，得
a1=

F

m

a2=

F

2m

设v₀为A球的初速度，则由匀加速运动公式，得
v₁=v₀-a₁t
v₂=a₂t
s1=v0t-

1

2

a1t2
s2=

1

2

a2t2
联立以上各式解得v0＜

3F(F-2r) m

答：欲使两球不发生接触，v₀必须满足v0＜

3F(F-2r) m

．

点评：解决本题的关键知道两球速度相等时，有最短距离，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．