Question

14．在如图所示，两条虚线之间区域内存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，坐标系第四象限有一边长为$\sqrt{2}$L的绝缘正方形盒CDFG（内壁光滑），其内部存在垂直于纸面向外的匀强磁场（大小未知），且C、D两点恰好在x、y轴上，CD连线与x轴正方向成45°角．一质量为m，带电量为+q（重力不计）的带电粒子，从M板中心静止释放经MN两极板间的电场加速后，从N板中心孔S沿x轴正方向射入虚线区域内的电场中，经该电场偏转后垂直于CD从CD中点J处的小孔射入方盒内，已知粒子与盒壁碰撞过程中无动能和电荷损失．（所有结果只能用E、L、m、q表示）求：
（1）粒子经MN间电场加速获得的速度v₀的大小；
（2）要使粒子在方盒中碰撞次数最少，且能从J处小孔垂直于CD射出，求磁感应强度B的大小；
（3）由于盒内磁感应强度不确定，要使粒子能从J处小孔垂直于CD射出，试讨论粒子在方盒内运动的可能时间．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中加速，粒子离开S后做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出粒子离开S时的速度；
（2）由洛仑兹力充当向心力，由题意明确可能的运动轨迹，则可求得磁感应强度；
（3）根据题意计论可能的情况，作出运动轨迹图象，确定出可能的半径，再由几何关系可求得运动的时间

解答 解：（1）粒子离开S后做平抛运动，由平抛运动规律得：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{at}{{v}_{0}}$，
加速度：a=$\frac{qE}{m}$，$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$at²，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$；
（2）小球将在磁场中做匀速圆周运动，当与各边中点垂直碰撞后能垂直于CD边从小孔射出，要使碰撞次数最少，则运动轨迹如图所示，由牛顿第二定律有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
由几何知识得：R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，
已知：v=$\sqrt{2}$v₀=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$，
解得：B=2$\sqrt{\frac{mE}{qL}}$；
（3）经分析知，要使离子能从小孔J垂直于CD边射入磁场，又从同一点垂直射出，则有以下两种情况分析；
第一种情况如图所示，设可能的圆轨道半径为R₁，由几何知识得：
（2n+1）R₁=$\frac{\sqrt{2}L}{2}$；
t₁=（4n+1）$\frac{T}{8}$•8，
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2π{R}_{1}}{v}$，
解得：t₁=$\frac{（4n+1）π}{2n+1}$ （n=0，1，2…），
第二种情况如图所示：2nR₂=$\frac{\sqrt{2}L}{2}$，
运动时间：t₂=n$\frac{{T}_{2}}{2}$•4+$\frac{2\sqrt{2}L}{v}$，
周期：T₂=$\frac{2π{R}_{2}}{v}$，
解得：t₂=（π+2）$\sqrt{\frac{mL}{qE}}$  （n=1，2…）；
答：（1）粒子经MN间电场加速获得的速度v₀的大小为：$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$；
（2）磁感应强度B=2$\sqrt{\frac{mE}{qL}}$；
（3）粒子在方盒内运动的可能时间（π+2）$\sqrt{\frac{mL}{qE}}$（n=1，2…）．

点评 本题考查带电粒子在电场磁场中的运动，要注意明确粒子运动的多种可能性，分别进行讨论，再由牛顿第二定律圆周运动的规律进行分析解答．